Номер 5, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 90.

Условие.

5. Докажите тождество

$(\left(\frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b^2}{b - 4}\right) : \left(\frac{b^2}{b^2 - 16} - \frac{b}{b - 4}\right) = \frac{b^2 + 4b}{4 - b})$

Решение.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в первых скобках:

$ \frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b^2}{b-4} $

Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$. Подставим это в выражение:

$ \frac{b^3}{(b-4)^2} - \frac{b^2}{b-4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-4)^2$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b-4)$:

$ \frac{b^3}{(b-4)^2} - \frac{b^2(b-4)}{(b-4)(b-4)} = \frac{b^3 - (b^3 - 4b^2)}{(b-4)^2} = \frac{b^3 - b^3 + 4b^2}{(b-4)^2} = \frac{4b^2}{(b-4)^2} $

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ \frac{b^2}{b^2 - 16} - \frac{b}{b-4} $

Знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $b^2 - 16 = (b-4)(b+4)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{b^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b}{b-4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-4)(b+4)$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b+4)$:

$ \frac{b^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^2 - b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^2 - b^2 - 4b}{(b-4)(b+4)} = \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} $

3. Выполним деление результатов:

Теперь разделим результат первого действия на результат второго. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{4b^2}{(b-4)^2} : \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} = \frac{4b^2}{(b-4)^2} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{-4b} $

Сократим общие множители $4b$ и $(b-4)$:

$ \frac{4b^2 \cdot (b-4)(b+4)}{(b-4)^2 \cdot (-4b)} = \frac{b \cdot (b+4)}{(b-4) \cdot (-1)} $

Упростим полученное выражение:

$ \frac{b(b+4)}{-(b-4)} = \frac{b^2 + 4b}{-b+4} = \frac{b^2 + 4b}{4-b} $

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равна его правой части:

$ \frac{b^2 + 4b}{4-b} = \frac{b^2 + 4b}{4-b} $

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.