Номер 2, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 91.

Условие.

2. Катер проплыл 18 км по течению реки и вернулся обратно, потратив на путь по течению на 48 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч. Поскольку скорость течения реки равна 3 км/ч, скорость катера по течению составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 3)$ км/ч. По смыслу задачи, собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против него, то есть $x > 3$.

Расстояние в одну сторону равно 18 км. Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по\_течению} = \frac{18}{x + 3}$ часов. Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{против\_течения} = \frac{18}{x - 3}$ часов.

По условию, на путь по течению было потрачено на 48 минут меньше. Переведем 48 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5}$ ч.

Составим уравнение на основе разницы во времени. Так как путь против течения занимает больше времени, вычитаем из него время пути по течению:

$t_{против\_течения} - t_{по\_течению} = \frac{4}{5}$

$\frac{18}{x - 3} - \frac{18}{x + 3} = \frac{4}{5}$

Чтобы решить уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:

$\frac{18(x + 3) - 18(x - 3)}{x^2 - 9} = \frac{4}{5}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18x + 54 - 18x + 54}{x^2 - 9} = \frac{4}{5}$

$\frac{108}{x^2 - 9} = \frac{4}{5}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4(x^2 - 9) = 108 \cdot 5$

$4x^2 - 36 = 540$

$4x^2 = 540 + 36$

$4x^2 = 576$

$x^2 = \frac{576}{4}$

$x^2 = 144$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{144} = 12$ и $x_2 = -\sqrt{144} = -12$.

Корень $x = -12$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x = 12$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, собственная скорость катера составляет 12 км/ч.

Проверим найденное решение. Время движения против течения: $t_{против\_течения} = \frac{18}{12 - 3} = \frac{18}{9} = 2$ часа. Время движения по течению: $t_{по\_течению} = \frac{18}{12 + 3} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$ часа. Разница во времени: $2 - 1.2 = 0.8$ часа. $0.8 \text{ ч} \cdot 60 \text{ мин/ч} = 48$ минут. Решение верное.

Ответ: 12 км/ч.