Номер 5, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 91.

Условие.

5. Найдите значение выражения:

1) $6^{-2} - \left(\frac{12}{5}\right)^{-1}$;

2) $\frac{7^{-8} \cdot 7^{-9}}{7^{-16}}$;

3) $\frac{16^{-5} \cdot (-64)^{-3}}{256^{-4}}$.

Решение.

1) $6^{-2} - (\frac{12}{5})^{-1}$

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Сначала вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Первый член: $6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

Второй член: $(\frac{12}{5})^{-1} = (\frac{5}{12})^1 = \frac{5}{12}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{1}{36} - \frac{5}{12}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 36:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{1}{36} - \frac{15}{36} = \frac{1 - 15}{36} = \frac{-14}{36}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{-14}{36} = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$.

2) $\frac{7^{-8} \cdot 7^{-9}}{7^{-16}}$

Для упрощения числителя воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$7^{-8} \cdot 7^{-9} = 7^{-8 + (-9)} = 7^{-17}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{7^{-17}}{7^{-16}}$.

Далее воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{7^{-17}}{7^{-16}} = 7^{-17 - (-16)} = 7^{-17 + 16} = 7^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

$7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

3) $\frac{16^{-5} \cdot (-64)^{-3}}{256^{-4}}$

Представим все числа в основании степеней как степени одного числа. В данном случае удобно использовать основание 4, так как $16=4^2$, $64=4^3$, $256=4^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(4^2)^{-5} \cdot (-(4^3))^{-3}}{(4^4)^{-4}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Числитель: $(4^2)^{-5} = 4^{2 \cdot (-5)} = 4^{-10}$.

Выражение $(-(4^3))^{-3}$ можно представить как $(-1 \cdot 4^3)^{-3}$. Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $(-1)^{-3} \cdot (4^3)^{-3} = -1 \cdot 4^{3 \cdot (-3)} = -4^{-9}$.

Знаменатель: $(4^4)^{-4} = 4^{4 \cdot (-4)} = 4^{-16}$.

Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{4^{-10} \cdot (-4^{-9})}{4^{-16}} = \frac{-(4^{-10} \cdot 4^{-9})}{4^{-16}}$

Упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$-(4^{-10 + (-9)}) = -4^{-19}$.

Дробь примет вид: $\frac{-4^{-19}}{4^{-16}}$.

Теперь воспользуемся свойством $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-4^{-19 - (-16)} = -4^{-19+16} = -4^{-3}$.

Вычислим окончательное значение, используя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$-4^{-3} = -\frac{1}{4^3} = -\frac{1}{64}$.

Ответ: $-\frac{1}{64}$.