Номер 4, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 90.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3 - 64}{x^2 + 14x + 49} \cdot \frac{x^2 - 49}{x^2 + 4x + 16} - \frac{77 - 11x}{x + 7}$;

2) $\left(\frac{a - 1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1}\right) : \frac{2a}{1 - a^2}.$

Решение.

1) Для упрощения выражения $\frac{x^3 - 64}{x^2 + 14x + 49} \cdot \frac{x^2 - 49}{x^2 + 4x + 16} - \frac{77 - 11x}{x + 7}$ выполним действия по порядку.

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:

• $x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ (разность кубов)
• $x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x + 7)^2$ (квадрат суммы)
• $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$ (разность квадратов)
• $77 - 11x = 11(7 - x)$ (вынесение общего множителя)

Подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)}{(x + 7)^2} \cdot \frac{(x - 7)(x + 7)}{x^2 + 4x + 16} - \frac{11(7 - x)}{x + 7}$

Выполним умножение дробей и сократим общие множители $(x^2 + 4x + 16)$ и $(x + 7)$:

$\frac{(x - 4)(x - 7)}{x + 7} - \frac{11(7 - x)}{x + 7}$

Заметим, что $7 - x = -(x - 7)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{(x - 4)(x - 7)}{x + 7} - \frac{11(-(x - 7))}{x + 7} = \frac{(x - 4)(x - 7)}{x + 7} + \frac{11(x - 7)}{x + 7}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(x - 4)(x - 7) + 11(x - 7)}{x + 7}$

Вынесем в числителе общий множитель $(x - 7)$ за скобки:

$\frac{(x - 7)((x - 4) + 11)}{x + 7} = \frac{(x - 7)(x + 7)}{x + 7}$

Сократим дробь на $(x + 7)$:

$x - 7$

Ответ: $x - 7$

2) Для упрощения выражения $(\frac{a - 1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1}) : \frac{2a}{1 - a^2}$ выполним действия по порядку.

Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей будет $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$.

$\frac{a - 1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{(a + 1)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{(a - 1)^2 - (a + 1)^2}{a^2 - 1}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - 1)^2 - (a + 1)^2 = ((a - 1) - (a + 1))((a - 1) + (a + 1)) = (a - 1 - a - 1)(a - 1 + a + 1) = (-2)(2a) = -4a$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{-4a}{a^2 - 1}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-4a}{a^2 - 1} : \frac{2a}{1 - a^2} = \frac{-4a}{a^2 - 1} \cdot \frac{1 - a^2}{2a}$

Заметим, что $1 - a^2 = -(a^2 - 1)$. Подставим это в выражение:

$\frac{-4a}{a^2 - 1} \cdot \frac{-(a^2 - 1)}{2a}$

Сократим общие множители $(a^2 - 1)$ и $2a$:

$\frac{-4a \cdot (-(a^2 - 1))}{(a^2 - 1) \cdot 2a} = \frac{4a(a^2 - 1)}{2a(a^2 - 1)} = \frac{4a}{2a} = 2$

Ответ: $2$