Номер 8, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 8, страница 89.

Условие.

8. Упростите выражение

$\frac{1}{1-2x} + \frac{1}{1+2x} + \frac{2}{1+4x^2} + \frac{4}{1+16x^4}.$

Решение.

Для упрощения данного выражения будем последовательно складывать дроби, начиная с первых двух. Ключевым методом будет использование формулы разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

1. Сложим первые две дроби:

$ \frac{1}{1-2x} + \frac{1}{1+2x} = \frac{1 \cdot (1+2x) + 1 \cdot (1-2x)}{(1-2x)(1+2x)} = \frac{1+2x+1-2x}{1^2 - (2x)^2} = \frac{2}{1-4x^2} $

После этого шага исходное выражение принимает вид:

$ \frac{2}{1-4x^2} + \frac{2}{1+4x^2} + \frac{4}{1+16x^4} $

2. Теперь сложим первые две дроби в новом выражении:

$ \frac{2}{1-4x^2} + \frac{2}{1+4x^2} = \frac{2 \cdot (1+4x^2) + 2 \cdot (1-4x^2)}{(1-4x^2)(1+4x^2)} = \frac{2+8x^2+2-8x^2}{1^2 - (4x^2)^2} = \frac{4}{1-16x^4} $

Выражение упростилось до:

$ \frac{4}{1-16x^4} + \frac{4}{1+16x^4} $

3. На последнем шаге сложим оставшиеся дроби:

$ \frac{4}{1-16x^4} + \frac{4}{1+16x^4} = \frac{4 \cdot (1+16x^4) + 4 \cdot (1-16x^4)}{(1-16x^4)(1+16x^4)} = \frac{4+64x^4+4-64x^4}{1^2 - (16x^4)^2} = \frac{8}{1-256x^8} $

Ответ: $ \frac{8}{1-256x^8} $