Номер 2, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 89.

Условие.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{18a^9b^7}{12a^{11}b^5}$;

2) $\frac{m^2 + 10m + 25}{25 - m^2}$;

3) $\frac{x^3 - 27}{x^2 - 5xy - 3x + 15y}$.

Решение.

1)

Чтобы сократить дробь $ \frac{18a^9b^7}{12a^{11}b^5} $, необходимо по отдельности сократить числовые коэффициенты и степени переменных.

Сократим числовые коэффициенты 18 и 12. Их наибольший общий делитель равен 6.
$ \frac{18}{12} = \frac{18 \div 6}{12 \div 6} = \frac{3}{2} $

Далее сократим степени переменных, используя свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.
Для переменной a: $ \frac{a^9}{a^{11}} = a^{9-11} = a^{-2} = \frac{1}{a^2} $.
Для переменной b: $ \frac{b^7}{b^5} = b^{7-5} = b^2 $.

Теперь объединим все полученные части:
$ \frac{18a^9b^7}{12a^{11}b^5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^2 = \frac{3b^2}{2a^2} $.

Ответ: $ \frac{3b^2}{2a^2} $

2)

Для сокращения дроби $ \frac{m^2 + 10m + 25}{25 - m^2} $ разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель $ m^2 + 10m + 25 $ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ m^2 + 10m + 25 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = (m+5)^2 $.

Знаменатель $ 25 - m^2 $ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ 25 - m^2 = 5^2 - m^2 = (5-m)(5+m) $.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(m+5)^2}{(5-m)(5+m)} = \frac{(m+5)(m+5)}{(5-m)(m+5)} $.

Сократим общий множитель $ (m+5) $:
$ \frac{m+5}{5-m} $.

Ответ: $ \frac{m+5}{5-m} $

3)

Для сокращения дроби $ \frac{x^3 - 27}{x^2 - 5xy - 3x + 15y} $ разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель $ x^3 - 27 $ является разностью кубов. Применим формулу $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $:
$ x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9) $.

Знаменатель $ x^2 - 5xy - 3x + 15y $ разложим на множители методом группировки слагаемых:
$ (x^2 - 3x) - (5xy - 15y) = x(x-3) - 5y(x-3) $.
Теперь вынесем общий множитель $ (x-3) $ за скобки:
$ (x-3)(x-5y) $.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{(x-3)(x-5y)} $.

Сократим общий множитель $ (x-3) $:
$ \frac{x^2 + 3x + 9}{x-5y} $.

Ответ: $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x-5y} $