Номер 7, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1. Контрольные работы - номер 7, страница 88.

Условие.

7. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in N$, счётно.

Решение.

Для того чтобы доказать, что множество чисел вида $A = \{ \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} \}$ является счётным, необходимо установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to A$, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие элемент множества $A$ по правилу $f(n) = \frac{1}{2n}$.

Докажем, что эта функция является биекцией, то есть она одновременно инъективна и сюръективна.

Инъективность (взаимная однозначность). Функция инъективна, если разным элементам области определения соответствуют разные элементы области значений. Другими словами, если $f(n_1) = f(n_2)$, то $n_1 = n_2$. Пусть для некоторых $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ выполняется равенство $f(n_1) = f(n_2)$. Тогда:$\frac{1}{2n_1} = \frac{1}{2n_2}$Из этого равенства следует, что $2n_1 = 2n_2$, и, разделив обе части на 2, получаем $n_1 = n_2$. Следовательно, функция $f$ является инъективной.

Сюръективность (отображение "на"). Функция сюръективна, если для любого элемента $y$ из множества $A$ существует такой элемент $n$ из множества $\mathbb{N}$, что $f(n) = y$. Возьмём произвольный элемент $y \in A$. По определению множества $A$, он имеет вид $y = \frac{1}{2k}$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$. Нам нужно найти такое $n \in \mathbb{N}$, для которого $f(n) = y$.$f(n) = \frac{1}{2n} = y = \frac{1}{2k}$Из этого равенства видно, что если мы выберем $n = k$, то оно будет верным. Поскольку $k$ является натуральным числом, мы нашли соответствующий прообраз $n=k$ в множестве $\mathbb{N}$ для любого элемента $y$ из множества $A$. Следовательно, функция $f$ является сюръективной.

Поскольку функция $f(n) = \frac{1}{2n}$ является и инъективной, и сюръективной, она представляет собой биекцию между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством чисел вида $\frac{1}{2n}$. Наличие такой биекции по определению означает, что множество $A = \{ \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} \}$ является счётным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$, является счётным, так как существует биекция $f(n) = \frac{1}{2n}$, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$.