Номер 41, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 41, страница 87.

Условие.

Самостоятельная работа № 41

Корни многочлена. Теорема Безу.

Целое рациональное уравнение

1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + 6x^2 - 2x + 9$ на двучлен $x + 2$.

2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x + 3)^{2n} + (x + 2)^{2n} - 1$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 + 5x + 6$.

3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 + ax^2 - 4x + 6$ при делении на двучлен $x + 3$ даёт в остатке $9$?

4. Решите уравнение $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3 = 0$.

Решение.

1. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

В данном случае многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 - 2x + 9$, а делитель — это двучлен $x+2$, который можно представить в виде $x-(-2)$. Следовательно, $c=-2$.

Остаток $R$ равен значению многочлена в точке $x=-2$:

$R = P(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 - 2(-2) + 9 = -8 + 6 \cdot 4 + 4 + 9 = -8 + 24 + 4 + 9 = 29$.

Ответ: 29

2. Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x + 3)^{2n} + (x + 2)^{2n} - 1$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 + 5x + 6$, необходимо и достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также корнями многочлена $P(x)$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x+2)(x+3) = 0$.

Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть равны ли $P(-2)$ и $P(-3)$ нулю.

При $x = -2$:

$P(-2) = (-2 + 3)^{2n} + (-2 + 2)^{2n} - 1 = 1^{2n} + 0^{2n} - 1$.

Так как $n \in N$, то $2n \ge 2$, поэтому $1^{2n}=1$ и $0^{2n}=0$.

$P(-2) = 1 + 0 - 1 = 0$.

При $x = -3$:

$P(-3) = (-3 + 3)^{2n} + (-3 + 2)^{2n} - 1 = 0^{2n} + (-1)^{2n} - 1$.

Поскольку $2n$ — всегда четное число при $n \in N$, то $(-1)^{2n}=1$.

$P(-3) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3. Воспользуемся теоремой Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен $P(c)$.

В нашем случае $P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 6$, делитель — $x+3$, то есть $c=-3$. Остаток по условию равен 9.

Составим уравнение, приравняв значение многочлена в точке $x=-3$ к остатку 9:

$P(-3) = 9$

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + 6 = 9$

$-27 + a \cdot 9 + 12 + 6 = 9$

$9a - 9 = 9$

$9a = 18$

$a = 2$

Ответ: 2

4. Решим уравнение $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3 = 0$.

Обозначим левую часть уравнения как $P(x)$. Попробуем найти целые или рациональные корни. Заметим, что $x=1$ является корнем, так как сумма коэффициентов равна $2 - 7 + 1 + 7 - 3 = 0$.

$P(1) = 2(1)^4 - 7(1)^3 + (1)^2 + 7(1) - 3 = 2 - 7 + 1 + 7 - 3 = 0$.

Проверим также $x=-1$.

$P(-1) = 2(-1)^4 - 7(-1)^3 + (-1)^2 + 7(-1) - 3 = 2 + 7 + 1 - 7 - 3 = 0$.

Поскольку $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен $P(x)$ делится на произведение $(x-1)(x+1) = x^2-1$.

Выполнив деление многочлена $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3$ на $x^2-1$, получим в частном $2x^2 - 7x + 3$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x^2 - 1)(2x^2 - 7x + 3) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

2) $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Решим второе уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$.

$x_3 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_4 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\{-1; \frac{1}{2}; 1; 3\}$