Номер 41, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 41, страница 87.
№41 (с. 87)
Условие. №41 (с. 87)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 41
Корни многочлена. Теорема Безу.
Целое рациональное уравнение
1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + 6x^2 - 2x + 9$ на двучлен $x + 2$.
2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x + 3)^{2n} + (x + 2)^{2n} - 1$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 + 5x + 6$.
3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 + ax^2 - 4x + 6$ при делении на двучлен $x + 3$ даёт в остатке $9$?
4. Решите уравнение $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3 = 0$.
Решение. №41 (с. 87)
1. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.
В данном случае многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 - 2x + 9$, а делитель — это двучлен $x+2$, который можно представить в виде $x-(-2)$. Следовательно, $c=-2$.
Остаток $R$ равен значению многочлена в точке $x=-2$:
$R = P(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 - 2(-2) + 9 = -8 + 6 \cdot 4 + 4 + 9 = -8 + 24 + 4 + 9 = 29$.
Ответ: 29
2. Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x + 3)^{2n} + (x + 2)^{2n} - 1$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 + 5x + 6$, необходимо и достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также корнями многочлена $P(x)$.
Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x+2)(x+3) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть равны ли $P(-2)$ и $P(-3)$ нулю.
При $x = -2$:
$P(-2) = (-2 + 3)^{2n} + (-2 + 2)^{2n} - 1 = 1^{2n} + 0^{2n} - 1$.
Так как $n \in N$, то $2n \ge 2$, поэтому $1^{2n}=1$ и $0^{2n}=0$.
$P(-2) = 1 + 0 - 1 = 0$.
При $x = -3$:
$P(-3) = (-3 + 3)^{2n} + (-3 + 2)^{2n} - 1 = 0^{2n} + (-1)^{2n} - 1$.
Поскольку $2n$ — всегда четное число при $n \in N$, то $(-1)^{2n}=1$.
$P(-3) = 0 + 1 - 1 = 0$.
Так как оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
3. Воспользуемся теоремой Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен $P(c)$.
В нашем случае $P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 6$, делитель — $x+3$, то есть $c=-3$. Остаток по условию равен 9.
Составим уравнение, приравняв значение многочлена в точке $x=-3$ к остатку 9:
$P(-3) = 9$
$(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + 6 = 9$
$-27 + a \cdot 9 + 12 + 6 = 9$
$9a - 9 = 9$
$9a = 18$
$a = 2$
Ответ: 2
4. Решим уравнение $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3 = 0$.
Обозначим левую часть уравнения как $P(x)$. Попробуем найти целые или рациональные корни. Заметим, что $x=1$ является корнем, так как сумма коэффициентов равна $2 - 7 + 1 + 7 - 3 = 0$.
$P(1) = 2(1)^4 - 7(1)^3 + (1)^2 + 7(1) - 3 = 2 - 7 + 1 + 7 - 3 = 0$.
Проверим также $x=-1$.
$P(-1) = 2(-1)^4 - 7(-1)^3 + (-1)^2 + 7(-1) - 3 = 2 + 7 + 1 - 7 - 3 = 0$.
Поскольку $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен $P(x)$ делится на произведение $(x-1)(x+1) = x^2-1$.
Выполнив деление многочлена $2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3$ на $x^2-1$, получим в частном $2x^2 - 7x + 3$.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:
$(x^2 - 1)(2x^2 - 7x + 3) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2) $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Решим второе уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$.
$x_3 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_4 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\{-1; \frac{1}{2}; 1; 3\}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 41 расположенного на странице 87 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41 (с. 87), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.