Номер 35, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 35, страница 84.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Теорема Виета

1. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 11x - 31 = 0$;

2) $5x^2 - 3x - 18 = 0$.

2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $-\frac{2}{3}$ и 4;

2) $4 - \sqrt{5}$ и $4 + \sqrt{5}$.

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x - 7 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$.

5. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - (a - 3)x + a^2 + a = 0$ равно 2?

Решение.

1) Для квадратного уравнения $x^2 + 11x - 31 = 0$ используем теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном случае $p = 11$ и $q = -31$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -11$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -31$.
Ответ: сумма корней $-11$, произведение корней $-31$.

2) Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Для уравнения $5x^2 - 3x - 18 = 0$ имеем коэффициенты $a = 5, b = -3, c = -18$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3)/5 = 3/5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -18/5$.
Ответ: сумма корней $3/5$, произведение корней $-18/5$.

1) Используем теорему, обратную теореме Виета. Если числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения, то это уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$.
Даны корни $x_1 = -2/3$ и $x_2 = 4$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -2/3 + 4 = -2/3 + 12/3 = 10/3$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-2/3) \cdot 4 = -8/3$.
Составим уравнение: $x^2 - (10/3)x - 8/3 = 0$.
Чтобы коэффициенты были целыми, умножим обе части уравнения на 3:
$3(x^2 - \frac{10}{3}x - \frac{8}{3}) = 3 \cdot 0$
$3x^2 - 10x - 8 = 0$.
Ответ: $3x^2 - 10x - 8 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = 4 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 4 + \sqrt{5}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{5}) + (4 + \sqrt{5}) = 8$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$.
Составим уравнение по обратной теореме Виета: $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$.
$x^2 - 8x + 11 = 0$.
Ответ: $x^2 - 8x + 11 = 0$.

1) Для уравнения $x^2 - 5x - 7 = 0$ по теореме Виета сумма его корней $x_1 + x_2 = -(-5)/1 = 5$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -7/1 = -7$.
Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$.
Подставим найденные значения суммы и произведения корней:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{5}{-7} = -5/7$.
Ответ: $-5/7$.

2) Для нахождения значения выражения $x_1^2 + x_2^2$ воспользуемся тождеством $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, из которого следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Из теоремы Виета для уравнения $x^2 - 5x - 7 = 0$ нам известно, что $x_1+x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Подставим эти значения в выражение:
$x_1^2 + x_2^2 = (5)^2 - 2(-7) = 25 + 14 = 39$.
Ответ: 39.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6)/1 = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2/1 = -2$.
Корни нового уравнения, обозначим их $y_1$ и $y_2$, на 3 больше соответствующих корней исходного уравнения: $y_1 = x_1 + 3$ и $y_2 = x_2 + 3$.
Для составления нового уравнения найдем сумму и произведение его корней.
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6 = 6 + 6 = 12$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = -2 + 3(6) + 9 = -2 + 18 + 9 = 25$.
Новое квадратное уравнение имеет вид $x^2 - 12x + 25 = 0$.
Ответ: $x^2 - 12x + 25 = 0$.

В уравнении $x^2 - (a-3)x + a^2 + a = 0$ по теореме Виета произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $a^2 + a$.
По условию задачи, это произведение равно 2. Составим и решим уравнение:
$a^2 + a = 2$
$a^2 + a - 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения относительно $a$ можно найти по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -1$ и $a_1 \cdot a_2 = -2$. Отсюда $a_1 = 1$, $a_2 = -2$.
Важно проверить, при каких из этих значений $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-(a-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (a-3)^2 - 4(a^2+a) = a^2 - 6a + 9 - 4a^2 - 4a = -3a^2 - 10a + 9$.
Проверим найденные значения $a$:
1) При $a = 1$: $D = -3(1)^2 - 10(1) + 9 = -3 - 10 + 9 = -4$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2) При $a = -2$: $D = -3(-2)^2 - 10(-2) + 9 = -3(4) + 20 + 9 = -12 + 20 + 9 = 17$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет только значение $a = -2$.
Ответ: $a = -2$.