Номер 30, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 30, страница 81.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $-2,5\sqrt{108}$;2) $-3\sqrt{0,48}$;3) $\frac{4}{5}\sqrt{4\frac{11}{16}}$

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $4\sqrt{3}$;2) $-5\sqrt{3}$

3. Упростите выражение $\sqrt{9a} + \sqrt{64a} - \sqrt{25a}$. 4. Упростите выражение:

1) $(5 - \sqrt{3})(2 + 4\sqrt{3})$;

2) $(4\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 3\sqrt{y})$;

3) $(3 - \sqrt{5})^2 + (2 + \sqrt{5})^2$;

4) $(\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} - \sqrt{11 + 2\sqrt{10}})^2$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2 - 23}{a - \sqrt{23}}$;2) $\frac{x + 8\sqrt{x}}{x - 64}$;3) $\frac{a + 12\sqrt{a} + 36}{a - 36}$.

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{44}{3\sqrt{11}}$;2) $\frac{12}{\sqrt{22} + \sqrt{10}}$.

Решение.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $-2,5\sqrt{108}$.
Чтобы вынести множитель, разложим подкоренное число 108 на множители, один из которых является наибольшим возможным полным квадратом: $108 = 36 \cdot 3$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Умножим полученное значение на коэффициент перед корнем: $-2,5 \cdot 6\sqrt{3} = -15\sqrt{3}$.
Ответ: $-15\sqrt{3}$.

2) $-3\sqrt{0,48}$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,48 = \frac{48}{100}$.
Выражение примет вид: $-3\sqrt{\frac{48}{100}}$.
Вынесем множитель из-под корня в числителе: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Извлечем корень из знаменателя: $\sqrt{100}=10$.
Получим: $-3 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{10} = -\frac{12\sqrt{3}}{10} = -\frac{6\sqrt{3}}{5}$ (или $-1,2\sqrt{3}$).
Ответ: $-\frac{6\sqrt{3}}{5}$.

3) $\frac{4}{5}\sqrt{4\frac{11}{16}}$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{11}{16} = \frac{4 \cdot 16 + 11}{16} = \frac{64 + 11}{16} = \frac{75}{16}$.
Выражение примет вид: $\frac{4}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$.
Извлечем корень из дроби: $\sqrt{\frac{75}{16}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$.
Перемножим: $\frac{4}{5} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 5\sqrt{3}}{5 \cdot 4}$. Сократим общие множители 4 и 5.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $4\sqrt{3}$.
Так как множитель $4$ положителен, внесем его под знак корня, возведя в квадрат: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Ответ: $\sqrt{48}$.

2) $-5\sqrt{3}$.
Знак "минус" остается перед корнем, а под знак корня вносим положительный множитель $5$, возведя его в квадрат: $-5\sqrt{3} = -\sqrt{5^2 \cdot 3} = -\sqrt{25 \cdot 3} = -\sqrt{75}$.
Ответ: $-\sqrt{75}$.

3. Упростите выражение $\sqrt{9a} + \sqrt{64a} - \sqrt{25a}$.

Для упрощения вынесем числовые множители из-под знака корня в каждом слагаемом. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$.
$\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$.
$\sqrt{64a} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a}$.
$\sqrt{25a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$.
Подставим полученные выражения в исходное: $3\sqrt{a} + 8\sqrt{a} - 5\sqrt{a}$.
Приведем подобные слагаемые: $(3 + 8 - 5)\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$.
Ответ: $6\sqrt{a}$.

4. Упростите выражение:

1) $(5-\sqrt{3})(2+4\sqrt{3})$.
Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$5 \cdot 2 + 5 \cdot 4\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 10 + 20\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2 = 10 + 20\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 4 \cdot 3 = 10 + 20\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 12$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(10-12) + (20\sqrt{3}-2\sqrt{3}) = -2 + 18\sqrt{3}$.
Ответ: $18\sqrt{3} - 2$.

2) $(4\sqrt{x}-3\sqrt{y})(4\sqrt{x}+3\sqrt{y})$.
Это выражение является произведением разности и суммы двух выражений, поэтому применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
В нашем случае $a = 4\sqrt{x}$ и $b = 3\sqrt{y}$.
$(4\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = 4^2(\sqrt{x})^2 - 3^2(\sqrt{y})^2 = 16x - 9y$.
Ответ: $16x - 9y$.

3) $(3-\sqrt{5})^2 + (2+\sqrt{5})^2$.
Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(3-\sqrt{5})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$.
$(2+\sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$.
Сложим полученные результаты: $(14 - 6\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5} = (14+9) + (-6\sqrt{5}+4\sqrt{5}) = 23 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $23 - 2\sqrt{5}$.

4) $(\sqrt{11-2\sqrt{10}} - \sqrt{11+2\sqrt{10}})^2$.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{11-2\sqrt{10}}$ и $b = \sqrt{11+2\sqrt{10}}$.
$a^2 = (\sqrt{11-2\sqrt{10}})^2 = 11-2\sqrt{10}$.
$b^2 = (\sqrt{11+2\sqrt{10}})^2 = 11+2\sqrt{10}$.
$2ab = 2\sqrt{(11-2\sqrt{10})(11+2\sqrt{10})} = 2\sqrt{11^2 - (2\sqrt{10})^2} = 2\sqrt{121 - 4 \cdot 10} = 2\sqrt{121-40} = 2\sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18$.
Подставим значения в формулу: $a^2 + b^2 - 2ab = (11-2\sqrt{10}) + (11+2\sqrt{10}) - 18 = 22 - 18 = 4$.
Ответ: $4$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2-23}{a-\sqrt{23}}$.
Представим числитель в виде разности квадратов: $a^2 - 23 = a^2 - (\sqrt{23})^2 = (a-\sqrt{23})(a+\sqrt{23})$.
Подставим в дробь: $\frac{(a-\sqrt{23})(a+\sqrt{23})}{a-\sqrt{23}}$.
Сократим общий множитель $(a-\sqrt{23})$ при условии, что $a \neq \sqrt{23}$.
Ответ: $a+\sqrt{23}$.

2) $\frac{x+8\sqrt{x}}{x-64}$.
В числителе вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки: $x+8\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+8)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x-64 = (\sqrt{x})^2 - 8^2 = (\sqrt{x}-8)(\sqrt{x}+8)$.
Получим дробь: $\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+8)}{(\sqrt{x}-8)(\sqrt{x}+8)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{x}+8)$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-8}$.

3) $\frac{a+12\sqrt{a}+36}{a-36}$.
Числитель является полным квадратом: $a+12\sqrt{a}+36 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{a}+6)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $a-36 = (\sqrt{a})^2 - 6^2 = (\sqrt{a}-6)(\sqrt{a}+6)$.
Получим дробь: $\frac{(\sqrt{a}+6)^2}{(\sqrt{a}-6)(\sqrt{a}+6)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a}+6)$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}+6}{\sqrt{a}-6}$.

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{44}{3\sqrt{11}}$.
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$:
$\frac{44}{3\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{44\sqrt{11}}{3(\sqrt{11})^2} = \frac{44\sqrt{11}}{3 \cdot 11}$.
Сократим 44 и 11 на 11: $\frac{4\sqrt{11}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{11}}{3}$.

2) $\frac{12}{\sqrt{22}+\sqrt{10}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е. на $(\sqrt{22}-\sqrt{10})$:
$\frac{12}{\sqrt{22}+\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{22}-\sqrt{10}}{\sqrt{22}-\sqrt{10}} = \frac{12(\sqrt{22}-\sqrt{10})}{(\sqrt{22}+\sqrt{10})(\sqrt{22}-\sqrt{10})}$.
В знаменателе получим разность квадратов: $(\sqrt{22})^2 - (\sqrt{10})^2 = 22 - 10 = 12$.
Дробь примет вид: $\frac{12(\sqrt{22}-\sqrt{10})}{12}$.
Сократим на 12.
Ответ: $\sqrt{22}-\sqrt{10}$.