Номер 29, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 29, страница 81.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Свойства арифметического квадратного корня

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{(-4,31)^2}$;

3) $\sqrt{2^4 \cdot 5^6}$;

5) $\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt{1\frac{11}{25} \cdot \frac{4}{49}}$;

4) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{128}$;

6) $\sqrt{6,4 \cdot 2,5}$.

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt{0,25x^{18}y^{22}}$, если $x \ge 0$, $y \le 0$;

2) $\frac{x^2 - 16x + 64}{x + 2} \sqrt{\frac{x^2 + 4x + 4}{(x - 8)^2}}$, если $-2 < x < 8$.

3. При каких значениях x верно равенство:

1) $\sqrt{(x - 7)^2} = (\sqrt{7 - x})^2$;

2) $\sqrt{(x - 4)(x - 7)} = \sqrt{4 - x}\sqrt{7 - x}$?

4. Постройте график функции $y = \sqrt{x^2 - 3x + 1}$, если $x \le 0$.

5. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 2a + 8 - \sqrt{16a^2 - 8a + 1}}$, если $a > \frac{1}{4}$.

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(-4,31)^2} = |-4,31| = 4,31$.
Ответ: 4,31.

2) Преобразуем смешанную дробь в неправильную и используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$.
$\sqrt{1\frac{11}{25} \cdot \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{36}{25} \cdot \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{36}{25}} \cdot \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{12}{35}$.
Ответ: $\frac{12}{35}$.

3) Используем свойства степеней и корней $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \geq 0$:
$\sqrt{2^4 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(2^2)^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$.
Ответ: 500.

4) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и разложим числа на множители:
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{128} = \sqrt{18 \cdot 128} = \sqrt{(2 \cdot 3^2) \cdot 2^7} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot 3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48.

5) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{243}{3}} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9.

6) Выполним умножение под знаком корня:
$\sqrt{6,4 \cdot 2,5} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойства корней $\sqrt{abc} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{0,25x^{18}y^{22}} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{x^{18}} \cdot \sqrt{y^{22}} = 0,5 \cdot \sqrt{(x^9)^2} \cdot \sqrt{(y^{11})^2} = 0,5 \cdot |x^9| \cdot |y^{11}|$.
По условию $x \geq 0$, следовательно $x^9 \geq 0$, и $|x^9| = x^9$.
По условию $y \leq 0$, следовательно $y^{11} \leq 0$, и $|y^{11}| = -y^{11}$.
Подставляем полученные выражения: $0,5 \cdot x^9 \cdot (-y^{11}) = -0,5x^9y^{11}$.
Ответ: $-0,5x^9y^{11}$.

2) Упростим выражения, используя формулы сокращенного умножения $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$:
$x^2 - 16x + 64 = (x-8)^2$.
$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Исходное выражение принимает вид: $\frac{(x-8)^2}{x+2} \sqrt{\frac{(x+2)^2}{(x-8)^2}}$.
Упростим корень: $\sqrt{\frac{(x+2)^2}{(x-8)^2}} = \frac{\sqrt{(x+2)^2}}{\sqrt{(x-8)^2}} = \frac{|x+2|}{|x-8|}$.
По условию $-2 < x < 8$, для этого интервала $x+2 > 0$, значит $|x+2| = x+2$.
Также $x-8 < 0$, значит $|x-8| = -(x-8) = 8-x$.
Подставляем в выражение: $\frac{(x-8)^2}{x+2} \cdot \frac{x+2}{8-x} = \frac{(x-8)^2}{x+2} \cdot \frac{x+2}{-(x-8)}$.
Сокращая дроби, получаем: $\frac{x-8}{-1} = -(x-8) = 8-x$.
Ответ: $8-x$.

3. При каких значениях x верно равенство:

1) Преобразуем обе части равенства. Левая часть: $\sqrt{(x-7)^2} = |x-7|$. Правая часть $(\sqrt{7-x})^2$ определена при $7-x \geq 0$, то есть $x \leq 7$. При этом условии $(\sqrt{7-x})^2 = 7-x$.
Равенство принимает вид: $|x-7| = 7-x$.
По определению модуля, равенство $|a| = -a$ верно, когда $a \leq 0$.
В нашем случае, $|x-7| = -(x-7)$, что верно при $x-7 \leq 0$, то есть $x \leq 7$.
Это условие совпадает с областью определения правой части.
Ответ: $x \leq 7$.

2) Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Для левой части $\sqrt{(x-4)(x-7)}$: $(x-4)(x-7) \geq 0 \implies x \in (-\infty, 4] \cup [7, \infty)$.
Для правой части $\sqrt{4-x}\sqrt{7-x}$: $4-x \geq 0$ и $7-x \geq 0 \implies x \leq 4$.
Общая ОДЗ: $x \leq 4$.
При $x \leq 4$, оба множителя $4-x$ и $7-x$ неотрицательны. Преобразуем левую часть:
$\sqrt{(x-4)(x-7)} = \sqrt{-(4-x) \cdot -(7-x)} = \sqrt{(4-x)(7-x)}$.
По свойству корня из произведения для неотрицательных чисел: $\sqrt{(4-x)(7-x)} = \sqrt{4-x}\sqrt{7-x}$.
Таким образом, левая часть тождественно равна правой на всей ОДЗ.
Ответ: $x \leq 4$.

4. Постройте график функции $y = \sqrt{x^2} - 3x + 1$, если $x \leq 0$.

Сначала упростим функцию. Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, тогда $y = |x| - 3x + 1$.
По условию $x \leq 0$, на этом промежутке модуль раскрывается как $|x| = -x$.
Подставляем в уравнение функции: $y = -x - 3x + 1$, что дает $y = -4x + 1$.
Нужно построить график линейной функции $y = -4x + 1$ для $x \leq 0$. Графиком является луч.
Найдем координаты двух точек для построения луча:
1. Если $x=0$, то $y = -4(0) + 1 = 1$. Начальная точка луча $(0, 1)$.
2. Если $x=-1$, то $y = -4(-1) + 1 = 5$. Точка на луче $(-1, 5)$.
График — это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и проходящий через точку $(-1, 5)$.
Ответ: Графиком функции является луч, заданный уравнением $y = -4x + 1$, с началом в точке $(0, 1)$.

5. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 2a + 8 - \sqrt{16a^2 - 8a + 1}}$, если $a > \frac{1}{4}$.

Упростим выражение, начиная с внутреннего корня.
Выражение под внутренним корнем является полным квадратом: $16a^2 - 8a + 1 = (4a-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{16a^2 - 8a + 1} = \sqrt{(4a-1)^2} = |4a-1|$.
По условию $a > \frac{1}{4}$, значит $4a > 1$, и $4a-1 > 0$. Таким образом, $|4a-1| = 4a-1$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^2 - 2a + 8 - (4a-1)} = \sqrt{a^2 - 2a + 8 - 4a + 1} = \sqrt{a^2 - 6a + 9}$.
Выражение под внешним корнем также является полным квадратом: $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Получаем: $\sqrt{(a-3)^2} = |a-3|$.
Так как условие $a > \frac{1}{4}$ не позволяет однозначно раскрыть модуль $|a-3|$, это выражение является окончательным упрощением.
Ответ: $|a-3|$.