Номер 24, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 24, страница 78.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной

1. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 7x - 3 \ge 5x - 9, \\ 4x + 11 \ge 11x - 3 \end{cases}; $

2) $ \begin{cases} 0,2(x + 3) \le 0,4x + 2, \\ 6x + 9 > 4(x + 1,25) \end{cases}; $

3) $ \begin{cases} \frac{3x - 5}{8} - \frac{3 - x}{4} > \frac{1}{2}, \\ \frac{4x - 1}{3} - \frac{2x - 3}{6} < 1. \end{cases} $

2. Решите совокупность неравенств:

1) $ \left[ \begin{array}{l} 3 \le x \le 7, \\ x < 3 \end{array} \right.; $

2) $ \left[ \begin{array}{l} x \le 7, \\ x > 3 \end{array} \right.; $

3. Сколько целых решений имеет неравенство $-5 \le 7x - 3 \le 4$?

4. Решите систему неравенств:

$ \begin{cases} -3 < x < 4, \\ x \le -1, \\ x < -5 \end{cases}. $

5. Решите неравенство:

1) $ (x+3)^2(x-4) \ge 0; $

2) $ |x+3|(x-4) < 0. $

6. При каких значениях параметра a множество решений системы неравенств

$ \begin{cases} 5x - 4 > 0, \\ 4x - a \le 5 \end{cases} $

содержит три целых числа?

Решение.

1) Решим систему неравенств $\begin{cases} 7x - 3 \ge 5x - 9 \\ 4x + 11 \ge 11x - 3 \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $7x - 3 \ge 5x - 9$
$7x - 5x \ge -9 + 3$
$2x \ge -6$
$x \ge -3$
2) $4x + 11 \ge 11x - 3$
$11 + 3 \ge 11x - 4x$
$14 \ge 7x$
$2 \ge x$, то есть $x \le 2$.
Решением системы является пересечение промежутков $x \ge -3$ и $x \le 2$. Это промежуток $[-3, 2]$.
Ответ: $x \in [-3, 2]$.

2) Решим систему неравенств $\begin{cases} 0.2(x + 3) \le 0.4x + 2 \\ 6x + 9 > 4(x + 1.25) \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $0.2(x + 3) \le 0.4x + 2$
$0.2x + 0.6 \le 0.4x + 2$
$0.6 - 2 \le 0.4x - 0.2x$
$-1.4 \le 0.2x$
$-7 \le x$, то есть $x \ge -7$.
2) $6x + 9 > 4(x + 1.25)$
$6x + 9 > 4x + 5$
$6x - 4x > 5 - 9$
$2x > -4$
$x > -2$.
Решением системы является пересечение промежутков $x \ge -7$ и $x > -2$. Это промежуток $(-2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-2, \infty)$.

3) Решим систему неравенств $\begin{cases} \frac{3x - 5}{8} - \frac{3 - x}{4} > \frac{1}{2} \\ \frac{4x - 1}{3} - \frac{2x - 3}{6} < 1 \end{cases}$.
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $\frac{3x - 5}{8} - \frac{3 - x}{4} > \frac{1}{2}$. Умножим обе части на общий знаменатель 8:
$(3x - 5) - 2(3 - x) > 4$
$3x - 5 - 6 + 2x > 4$
$5x - 11 > 4$
$5x > 15$
$x > 3$.
2) $\frac{4x - 1}{3} - \frac{2x - 3}{6} < 1$. Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$2(4x - 1) - (2x - 3) < 6$
$8x - 2 - 2x + 3 < 6$
$6x + 1 < 6$
$6x < 5$
$x < \frac{5}{6}$.
Решением системы является пересечение промежутков $x > 3$ и $x < \frac{5}{6}$. Эти промежутки не пересекаются.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

1) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} 3 \le x \le 7 \\ x < 3 \end{bmatrix}$.
Решением совокупности является объединение множеств решений. Первое неравенство задает отрезок $[3, 7]$. Второе неравенство задает луч $(-\infty, 3)$.
Объединение этих множеств: $(-\infty, 3) \cup [3, 7] = (-\infty, 7]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 7]$.

2) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} x \le 7 \\ x \ge 3 \end{bmatrix}$.
Решением совокупности является объединение множеств решений. Первое неравенство задает луч $(-\infty, 7]$. Второе неравенство задает луч $[3, \infty)$.
Объединение этих множеств: $(-\infty, 7] \cup [3, \infty) = (-\infty, \infty)$. Это множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

3. Найдем количество целых решений неравенства $-5 \le 7x - 3 \le 4$.
Это двойное неравенство. Решим его относительно $x$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5 + 3 \le 7x \le 4 + 3$
$-2 \le 7x \le 7$
Разделим все части на 7:
$-\frac{2}{7} \le x \le 1$
Целые числа, принадлежащие промежутку $[-\frac{2}{7}, 1]$, это 0 и 1. Всего два целых решения.
Ответ: 2.

4. Решим систему неравенств $\begin{cases} x \le -1 \\ x < -5 \end{cases}$.
Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
Первое неравенство задает промежуток $(-\infty, -1]$.
Второе неравенство задает промежуток $(-\infty, -5)$.
Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty, -5)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5)$.

1) Решим неравенство $(x + 3)^2(x - 4) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем корни левой части: $(x+3)^2 = 0 \implies x = -3$ (корень кратности 2) и $x-4 = 0 \implies x = 4$ (корень кратности 1).
Отметим корни на числовой оси. Так как корень $x=-3$ имеет четную кратность, знак при переходе через него не меняется.
Проверим знаки на интервалах:
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $(5+3)^2(5-4) > 0$.
- при $-3 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0+3)^2(0-4) < 0$.
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $(-4+3)^2(-4-4) < 0$.
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Выражение равно нулю в точках $x=-3$ и $x=4$. Выражение больше нуля при $x > 4$.
Объединяя эти решения, получаем $x=-3$ и $x \ge 4$.
Ответ: $x \in \{-3\} \cup [4, \infty)$.

2) Решим неравенство $|x + 3|(x - 4) < 0$.
Выражение $|x+3|$ всегда неотрицательно, то есть $|x+3| \ge 0$.
Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множители были ненулевыми и имели разные знаки.
Так как $|x+3| \ge 0$, то для выполнения неравенства требуется, чтобы $|x+3| > 0$ и $x-4 < 0$.
1) $|x+3| > 0 \implies x+3 \ne 0 \implies x \ne -3$.
2) $x-4 < 0 \implies x < 4$.
Объединяя эти условия, получаем $x < 4$ и $x \ne -3$. Это можно записать в виде объединения интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 4)$.

6. Найдем значения параметра $a$, при которых множество решений системы неравенств $\begin{cases} 5x - 4 > 0 \\ 4x - a \le 5 \end{cases}$ содержит три целых числа.
Решим систему относительно $x$:
1) $5x - 4 > 0 \implies 5x > 4 \implies x > \frac{4}{5}$, то есть $x > 0.8$.
2) $4x - a \le 5 \implies 4x \le 5 + a \implies x \le \frac{5+a}{4}$.
Решением системы является промежуток $(\frac{4}{5}, \frac{5+a}{4}]$.
Этот промежуток должен содержать ровно три целых числа. Первое целое число, большее $\frac{4}{5}$, это 1. Значит, искомые целые числа — это 1, 2 и 3.
Для этого число 3 должно входить в промежуток, а число 4 — не должно. Это означает, что правая граница промежутка $\frac{5+a}{4}$ должна быть больше или равна 3, но строго меньше 4.
Получаем двойное неравенство для $a$:
$3 \le \frac{5+a}{4} < 4$
Умножим все части на 4:
$12 \le 5+a < 16$
Вычтем 5 из всех частей:
$7 \le a < 11$
Ответ: $a \in [7, 11)$.