Номер 19, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 19, страница 76.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Признаки делимости

1. Делится ли нацело число 43 752 на число: 1) 3; 2) 4; 3) 11?

2. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число *62* делилось нацело на 99.

3. Может ли натуральное число, запись которого состоит из цифр 2, 3, 7, 9 (каждая из цифр используется один раз), быть квадратом натурального числа?

4. Решите уравнение $n = S(n) + 218$.

Решение.

1. Для проверки делимости числа 43 752 используем соответствующие признаки делимости.

1) Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Сумма цифр числа 43 752 равна $4 + 3 + 7 + 5 + 2 = 21$.
Число 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$), следовательно, число 43 752 делится на 3.

2) Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.
Последние две цифры числа 43 752 — это 52.
Число 52 делится на 4 ($52 : 4 = 13$), следовательно, число 43 752 делится на 4.

3) Признак делимости на 11: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.
Сумма цифр на нечётных местах (первая, третья, пятая): $4 + 7 + 2 = 13$.
Сумма цифр на чётных местах (вторая, четвёртая): $3 + 5 = 8$.
Разность этих сумм: $13 - 8 = 5$.
Число 5 не делится на 11, следовательно, число 43 752 не делится на 11.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет.

2. Обозначим искомое число как $\overline{a62b}$, где $a$ и $b$ — цифры, заменяющие звёздочки. Чтобы число делилось на 99, оно должно одновременно делиться на 9 и на 11, так как $99 = 9 \times 11$ и числа 9 и 11 взаимно простые.

1. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.
Сумма цифр: $a + 6 + 2 + b = a + b + 8$.
Так как $a$ — первая цифра, $1 \le a \le 9$, а $0 \le b \le 9$. Тогда $1 \le a+b \le 18$.
Следовательно, $9 \le a+b+8 \le 26$. В этом диапазоне на 9 делятся числа 9 и 18.
Получаем два случая:
- $a + b + 8 = 9 \implies a + b = 1$
- $a + b + 8 = 18 \implies a + b = 10$

2. Признак делимости на 11: разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах должна делиться на 11.
Сумма цифр на нечётных местах: $a + 2$.
Сумма цифр на чётных местах: $6 + b$.
Разность: $(a + 2) - (6 + b) = a - b - 4$.
Эта разность должна делиться на 11. Учитывая, что $-8 \le a-b \le 9$, имеем $-12 \le a-b-4 \le 5$. В этом диапазоне на 11 делятся числа 0 и -11.
Получаем ещё два случая:
- $a - b - 4 = 0 \implies a - b = 4$
- $a - b - 4 = -11 \implies a - b = -7$

Теперь решим системы уравнений для $a$ и $b$.
- Система 1: $a + b = 1$ и $a - b = 4$. Сложив уравнения, получим $2a = 5$, $a = 2.5$. Не является цифрой.
- Система 2: $a + b = 1$ и $a - b = -7$. Сложив уравнения, получим $2a = -6$, $a = -3$. Не является цифрой.
- Система 3: $a + b = 10$ и $a - b = 4$. Сложив уравнения, получим $2a = 14$, $a = 7$. Тогда $b = 10 - 7 = 3$. Это подходящие цифры.
- Система 4: $a + b = 10$ и $a - b = -7$. Сложив уравнения, получим $2a = 3$, $a = 1.5$. Не является цифрой.
Единственное решение — $a=7$ и $b=3$. Искомое число — 7623.

Ответ: Вместо первой звёздочки нужно подставить 7, вместо второй — 3. Число: 7623.

3. Пусть $N$ — натуральное число, запись которого состоит из цифр 2, 3, 7, 9, каждая из которых используется один раз. Чтобы определить, может ли $N$ быть квадратом натурального числа, воспользуемся признаками делимости.

1. Найдём сумму цифр числа $N$.
Сумма цифр: $2 + 3 + 7 + 9 = 21$.

2. Проверим делимость на 3.
Так как сумма цифр (21) делится на 3, любое число $N$, составленное из этих цифр, будет делиться на 3.

3. Используем свойство полных квадратов.
Если целое число является полным квадратом и делится на простое число $p$, то оно должно делиться и на $p^2$. В нашем случае, если $N$ — полный квадрат и делится на 3, то $N$ должно делиться на $3^2 = 9$.

4. Проверим делимость на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $N$ равна 21, а 21 не делится на 9.
Следовательно, число $N$ не делится на 9.

Так как число $N$ делится на 3, но не делится на 9, оно не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: нет, не может.

4. Дано уравнение $n = S(n) + 218$, где $n$ — натуральное число, а $S(n)$ — сумма его цифр.

Перепишем уравнение в виде $n - S(n) = 218$.

Известно свойство, что любое натуральное число $n$ имеет такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр $S(n)$. Математически это записывается как $n \equiv S(n) \pmod{9}$.

Из этого следует, что разность $n - S(n)$ всегда делится нацело на 9.
Доказательство: пусть $n = d_k 10^k + \dots + d_1 10 + d_0$. Тогда $S(n) = d_k + \dots + d_1 + d_0$.
$n - S(n) = d_k(10^k - 1) + \dots + d_1(10 - 1)$.
Каждый член вида $10^i - 1$ представляет собой число, состоящее из $i$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$), и, следовательно, делится на 9. Значит, вся сумма $n - S(n)$ делится на 9.

Теперь проверим правую часть нашего уравнения, число 218, на делимость на 9.
Сумма цифр числа 218 равна $2 + 1 + 8 = 11$.
Поскольку 11 не делится на 9, число 218 также не делится на 9.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения ($n - S(n)$) всегда делится на 9, а правая часть (218) на 9 не делится. Следовательно, равенство невозможно ни для какого натурального $n$.

Ответ: уравнение не имеет решений в натуральных числах.