Номер 12, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 12, страница 73.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Рациональные уравнения с параметрами

1. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x-a}{x-5} = 0;$

2) $\frac{(x+3)(x-7)}{x-a} = 0;$

3) $\frac{x+2a}{x-6} = a+3.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнения $(a+1)(x-2) = 0$ и $a^2+x=2-a$ равносильны?

Решение.

1.

1) Решим уравнение $\frac{x - a}{x - 5} = 0$.

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x - 5 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим $x = a$.

Из второго условия следует, что $x \neq 5$.

Для того чтобы $x=a$ было корнем, оно должно удовлетворять условию $x \neq 5$, то есть должно выполняться $a \neq 5$.

Рассмотрим два случая:

• Если $a = 5$, то уравнение принимает вид $\frac{x - 5}{x - 5} = 0$. При условии $x \neq 5$ левая часть равна 1, и уравнение становится $1 = 0$, что неверно. Следовательно, при $a = 5$ решений нет.
• Если $a \neq 5$, то корень $x = a$ удовлетворяет условию $x \neq 5$, и является решением уравнения.

Ответ: если $a = 5$, то решений нет; если $a \neq 5$, то $x = a$.

2) Решим уравнение $\frac{(x + 3)(x - 7)}{x - a} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x + 3)(x - 7) = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим возможные корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 7$.

Второе условие $x \neq a$ означает, что корень не должен совпадать со значением параметра $a$.

Рассмотрим следующие случаи:

• Если $a = -3$, то корень $x_1 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае единственным решением будет $x = 7$.
• Если $a = 7$, то корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае единственным решением будет $x = -3$.
• Если $a \neq -3$ и $a \neq 7$, то оба значения, $x = -3$ и $x = 7$, являются корнями уравнения, так как ни одно из них не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: если $a = -3$, то $x = 7$; если $a = 7$, то $x = -3$; если $a \neq -3$ и $a \neq 7$, то $x_1 = -3, x_2 = 7$.

3) Решим уравнение $\frac{x + 2a}{x - 6} = a + 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x - 6 \neq 0$, откуда $x \neq 6$.

При $x \neq 6$ умножим обе части уравнения на $(x - 6)$:

$x + 2a = (a + 3)(x - 6)$

$x + 2a = ax - 6a + 3x - 18$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные — в правой:

$x - ax - 3x = -2a - 6a - 18$

$x(1 - a - 3) = -8a - 18$

$x(-a - 2) = -2(4a + 9)$

$x(a + 2) = 2(4a + 9)$

Рассмотрим два случая:

• Если $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$. В этом случае решение уравнения: $x = \frac{2(4a + 9)}{a + 2}$. Необходимо проверить, при каких значениях $a$ этот корень не удовлетворяет ОДЗ, то есть $x=6$:
  $\frac{2(4a + 9)}{a + 2} = 6$
  $2(4a + 9) = 6(a + 2)$
  $8a + 18 = 6a + 12$
  $2a = -6$
  $a = -3$.
  Таким образом, при $a = -3$ корень уравнения равен 6, что недопустимо. Следовательно, при $a = -3$ решений нет.
• Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$. Уравнение принимает вид:
  $x \cdot 0 = 2(4(-2) + 9)$
  $0 \cdot x = 2(-8 + 9)$
  $0 \cdot x = 2$.
  Это уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = -2$ или $a = -3$, то решений нет; если $a \neq -2$ и $a \neq -3$, то $x = \frac{2(4a + 9)}{a + 2}$.

2.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множества решений для каждого уравнения в зависимости от параметра $a$.

Первое уравнение: $(a + 1)(x - 2) = 0$.

• Если $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x - 2) = 0$, что верно для любого $x$. Множество решений — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Если $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, то уравнение равносильно $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Множество решений — $\{2\}$.

Второе уравнение: $a^2 + x = 2 - a$.

Это линейное уравнение относительно $x$. Выразим $x$: $x = 2 - a - a^2$. Для любого значения $a$ это уравнение имеет единственный корень. Множество решений — $\{2 - a - a^2\}$.

Теперь найдем значения $a$, при которых множества решений уравнений совпадают.

1. Рассмотрим случай $a = -1$.
Множество решений первого уравнения: $x \in \mathbb{R}$.
Множество решений второго уравнения: $x = 2 - (-1) - (-1)^2 = 2 + 1 - 1 = 2$. То есть $\{2\}$.
Множества не совпадают ($\mathbb{R} \neq \{2\}$), поэтому $a = -1$ не является решением задачи.

2. Рассмотрим случай $a \neq -1$.
Множество решений первого уравнения — $\{2\}$.
Для равносильности необходимо, чтобы множество решений второго уравнения также было $\{2\}$. Это означает, что его единственный корень должен быть равен 2:
$2 - a - a^2 = 2$
$-a - a^2 = 0$
$-a(1 + a) = 0$
Отсюда $a = 0$ или $a = -1$.
Поскольку мы рассматриваем случай $a \neq -1$, единственным возможным значением является $a = 0$.
При $a = 0$ оба уравнения имеют единственный корень $x=2$, а значит, они равносильны.

Ответ: $a = 0$.