Номер 10, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 10, страница 71.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Тождественные преобразования рациональных выражений

1. Упростите выражение:

1) $(\left(\frac{x+4}{x-4} - \frac{x-4}{x+4}\right) : \frac{16x^3}{16-x^2});$

2) $\frac{3y}{y-1} - \frac{y+3}{5y-5} \cdot \frac{15}{y^2+3y};$

3) $\frac{a - \frac{10a-25}{a}}{\frac{5}{a} - 1}.$

2. Докажите тождество:

$(\left(\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{x^2-16} + \frac{1}{(x+4)^2}\right) : \frac{8x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{1}{2x}.$

3. Докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения

$(\left(\frac{1}{x-3} - \frac{27}{x^3-27} - \frac{9}{x^2+3x+9}\right) \cdot \left(2x + \frac{12x+18}{x-3}\right))$

не зависит от значения x.

Решение.

1)

Выполним преобразования по шагам. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(x-4)(x+4)=x^2-16$.

$\left(\frac{x+4}{x-4} - \frac{x-4}{x+4}\right) = \frac{(x+4)(x+4) - (x-4)(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x+4)^2 - (x-4)^2}{x^2-16}$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для числителя:

$(x+4)^2 - (x-4)^2 = ((x+4)-(x-4))((x+4)+(x-4)) = (x+4-x+4)(x+4+x-4) = (8)(2x) = 16x$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{16x}{x^2-16}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{16x}{x^2-16} : \frac{16x^3}{16-x^2} = \frac{16x}{x^2-16} \cdot \frac{16-x^2}{16x^3}$

Так как $16-x^2 = -(x^2-16)$, мы можем сократить выражение:

$\frac{16x}{x^2-16} \cdot \frac{-(x^2-16)}{16x^3} = -\frac{16x \cdot (x^2-16)}{(x^2-16) \cdot 16x^3} = -\frac{16x}{16x^3} = -\frac{1}{x^2}$

Ответ: $-\frac{1}{x^2}$

2)

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители.

$\frac{y+3}{5y-5} \cdot \frac{15}{y^2+3y} = \frac{y+3}{5(y-1)} \cdot \frac{15}{y(y+3)}$

Сокращаем общие множители $(y+3)$ и числа $15$ и $5$:

$\frac{1}{5(y-1)} \cdot \frac{15}{y} = \frac{3}{y(y-1)}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3y}{y-1} - \frac{3}{y(y-1)}$

Приведем к общему знаменателю $y(y-1)$:

$\frac{3y \cdot y}{y(y-1)} - \frac{3}{y(y-1)} = \frac{3y^2-3}{y(y-1)}$

Вынесем общий множитель в числителе и разложим его по формуле разности квадратов:

$\frac{3(y^2-1)}{y(y-1)} = \frac{3(y-1)(y+1)}{y(y-1)}$

Сократим общий множитель $(y-1)$:

$\frac{3(y+1)}{y}$

Ответ: $\frac{3(y+1)}{y}$

3)

Это многоэтажная дробь. Упростим отдельно ее числитель и знаменатель.

Числитель: $a - \frac{10a-25}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{10a-25}{a} = \frac{a^2 - (10a-25)}{a} = \frac{a^2-10a+25}{a}$.

Выражение в числителе является полным квадратом: $a^2-10a+25 = (a-5)^2$. Таким образом, числитель равен $\frac{(a-5)^2}{a}$.

Знаменатель: $\frac{5}{a}-1 = \frac{5}{a} - \frac{a}{a} = \frac{5-a}{a}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{(a-5)^2}{a}}{\frac{5-a}{a}} = \frac{(a-5)^2}{a} \cdot \frac{a}{5-a}$

Сократим $a$. Учтем, что $5-a = -(a-5)$:

$\frac{(a-5)^2}{5-a} = \frac{(a-5)^2}{-(a-5)} = -(a-5) = 5-a$

Ответ: $5-a$

2.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой.

Рассмотрим выражение в скобках: $\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{x^2-16} + \frac{1}{(x+4)^2}$.

Разложим средний знаменатель на множители: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$.

$\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{(x-4)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, где $a = \frac{1}{x-4}$ и $b = \frac{1}{x+4}$.

Следовательно, выражение в скобках равно $\left(\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+4}\right)^2$.

Упростим сумму в скобках:

$\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+4} = \frac{x+4+x-4}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x}{x^2-16}$

Тогда все выражение в больших скобках равно $\left(\frac{2x}{x^2-16}\right)^2 = \frac{4x^2}{(x^2-16)^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4x^2}{(x^2-16)^2} : \frac{8x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{4x^2}{(x^2-16)^2} \cdot \frac{(x^2-16)^2}{8x^3}$

Сократим одинаковые множители $(x^2-16)^2$:

$\frac{4x^2}{8x^3} = \frac{1}{2x}$

Левая часть тождества равна $\frac{1}{2x}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после преобразования левой части получилось выражение, стоящее в правой части.

3.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, нужно упростить его и показать, что в результате получится число.

Упростим первую скобку: $\left(\frac{1}{x-3} - \frac{27}{x^3-27} - \frac{9}{x^2+3x+9}\right)$.

Используем формулу разности кубов: $x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x^2+3x+9)$.

$\frac{1(x^2+3x+9)}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{9(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}$

Объединим числители:

$\frac{x^2+3x+9 - 27 - 9(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2+3x-18 - 9x+27}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2-6x+9}{(x-3)(x^2+3x+9)}$

Числитель является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

Первая скобка равна $\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x-3}{x^2+3x+9}$.

Упростим вторую скобку: $\left(2x + \frac{12x+18}{x-3}\right)$.

Общий знаменатель $x-3$:

$\frac{2x(x-3)}{x-3} + \frac{12x+18}{x-3} = \frac{2x^2-6x+12x+18}{x-3} = \frac{2x^2+6x+18}{x-3}$

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$\frac{2(x^2+3x+9)}{x-3}$

Теперь перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$\left(\frac{x-3}{x^2+3x+9}\right) \cdot \left(\frac{2(x^2+3x+9)}{x-3}\right)$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(x-3)$ и $(x^2+3x+9)$.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2$

Результатом является число 2, которое не зависит от переменной $x$.

Ответ: 2