Номер 8, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 8, страница 70.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{5}{8cd} - \frac{3}{12cd}$

2) $\frac{3a - 7b}{a} + \frac{5a^2 + 7b^2}{ab}$

3) $4 - \frac{9a + 4b}{b}$

4) $\frac{x^2 + y^2}{3x - y} + 3x + y$

2. Выполните действия:

1) $\frac{5y}{2y - 10} + \frac{3y}{15 - 3y}$

2) $\frac{5x}{5x + y} - \frac{25x^2}{25x^2 + 10xy + y^2}$

3) $\frac{8}{x^2 - 49} - \frac{4}{x^2 + 7x}$

3. Упростите выражение:

$\frac{x + 8}{x^2 + 4x + 16} - \frac{1}{x - 4} + \frac{x^3 - 16}{x^2 - 64}$

4. Докажите тождество:

$\frac{1}{x(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)(x - 8)} + \frac{1}{(x - 8)(x - 12)} + \frac{1}{(x - 12)(x - 16)} = \frac{4}{x(x - 16)}$

Решение.

1)

Чтобы вычесть дроби $\frac{5}{8cd} - \frac{3}{12cd}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $8cd$ и $12cd$ это $24cd$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{5 \cdot 3}{8cd \cdot 3} - \frac{3 \cdot 2}{12cd \cdot 2} = \frac{15}{24cd} - \frac{6}{24cd}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{15 - 6}{24cd} = \frac{9}{24cd}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{9}{24cd} = \frac{3}{8cd}$

Ответ: $\frac{3}{8cd}$

2)

Для сложения дробей $\frac{3a - 7b}{a} + \frac{5a^2 + 7b^2}{ab}$ найдем общий знаменатель, который равен $ab$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:

$\frac{(3a - 7b) \cdot b}{a \cdot b} + \frac{5a^2 + 7b^2}{ab} = \frac{3ab - 7b^2}{ab} + \frac{5a^2 + 7b^2}{ab}$

Сложим числители:

$\frac{3ab - 7b^2 + 5a^2 + 7b^2}{ab} = \frac{5a^2 + 3ab}{ab}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{a(5a + 3b)}{ab} = \frac{5a + 3b}{b}$

Ответ: $\frac{5a + 3b}{b}$

3)

Чтобы выполнить вычитание $4 - \frac{9a + 4b}{b}$, представим 4 в виде дроби со знаменателем $b$:

$4 = \frac{4b}{b}$

Теперь вычтем дроби:

$\frac{4b}{b} - \frac{9a + 4b}{b} = \frac{4b - (9a + 4b)}{b}$

Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус:

$\frac{4b - 9a - 4b}{b} = \frac{-9a}{b}$

Ответ: $-\frac{9a}{b}$

4)

Для выполнения сложения $\frac{x^2 + y^2}{3x - y} + 3x + y$ представим выражение $3x+y$ в виде дроби со знаменателем $3x-y$:

$3x + y = \frac{(3x+y)(3x-y)}{3x-y}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для числителя:

$\frac{(3x)^2 - y^2}{3x-y} = \frac{9x^2 - y^2}{3x-y}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{x^2 + y^2}{3x - y} + \frac{9x^2 - y^2}{3x - y} = \frac{x^2 + y^2 + 9x^2 - y^2}{3x-y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{10x^2}{3x-y}$

Ответ: $\frac{10x^2}{3x-y}$

2.

1)

Выполним сложение дробей $\frac{5y}{2y - 10} + \frac{3y}{15 - 3y}$.

Сначала разложим знаменатели на множители:

$2y - 10 = 2(y-5)$

$15 - 3y = 3(5-y) = -3(y-5)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{5y}{2(y - 5)} + \frac{3y}{-3(y - 5)} = \frac{5y}{2(y - 5)} - \frac{y}{y - 5}$

Общий знаменатель равен $2(y-5)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{5y}{2(y - 5)} - \frac{y \cdot 2}{(y - 5) \cdot 2} = \frac{5y}{2(y - 5)} - \frac{2y}{2(y - 5)}$

Выполним вычитание:

$\frac{5y-2y}{2(y-5)} = \frac{3y}{2(y-5)}$

Ответ: $\frac{3y}{2(y-5)}$

2)

Выполним вычитание $\frac{5x}{5x + y} - \frac{25x^2}{25x^2 + 10xy + y^2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом:

$25x^2 + 10xy + y^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot y + y^2 = (5x+y)^2$

Перепишем выражение:

$\frac{5x}{5x + y} - \frac{25x^2}{(5x+y)^2}$

Общий знаменатель $(5x+y)^2$. Домножим первую дробь на $(5x+y)$:

$\frac{5x(5x+y)}{(5x+y)^2} - \frac{25x^2}{(5x+y)^2} = \frac{25x^2 + 5xy}{(5x+y)^2} - \frac{25x^2}{(5x+y)^2}$

Вычтем числители:

$\frac{25x^2 + 5xy - 25x^2}{(5x+y)^2} = \frac{5xy}{(5x+y)^2}$

Ответ: $\frac{5xy}{(5x+y)^2}$

3)

Выполним вычитание $\frac{8}{x^2 - 49} - \frac{4}{x^2 + 7x}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:

$x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$

$x^2 + 7x = x(x+7)$

Выражение принимает вид:

$\frac{8}{(x-7)(x+7)} - \frac{4}{x(x+7)}$

Общий знаменатель $x(x-7)(x+7)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{8 \cdot x}{x(x-7)(x+7)} - \frac{4 \cdot (x-7)}{x(x-7)(x+7)}$

Объединим дроби:

$\frac{8x - 4(x-7)}{x(x-7)(x+7)} = \frac{8x - 4x + 28}{x(x-7)(x+7)} = \frac{4x + 28}{x(x-7)(x+7)}$

Вынесем общий множитель 4 в числителе:

$\frac{4(x+7)}{x(x-7)(x+7)}$

Сократим дробь на $(x+7)$:

$\frac{4}{x(x-7)}$

Ответ: $\frac{4}{x(x-7)}$

3.

Упростим выражение $\frac{x+8}{x^2+4x+16} - \frac{1}{x-4} + \frac{x^3 - 16}{x^3-64}$.

Разложим знаменатель $x^3-64$ по формуле разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3-64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2+4x+16)$

Видно, что это и есть общий знаменатель для всех трех дробей. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(x+8)(x-4)}{(x-4)(x^2+4x+16)} - \frac{1(x^2+4x+16)}{(x-4)(x^2+4x+16)} + \frac{x^3 - 16}{x^3-64}$

Объединим все под общим знаменателем $x^3-64$:

$\frac{(x+8)(x-4) - (x^2+4x+16) + (x^3 - 16)}{x^3-64}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+8)(x-4) = x^2 - 4x + 8x - 32 = x^2 + 4x - 32$

Числитель примет вид:

$x^2 + 4x - 32 - x^2 - 4x - 16 + x^3 - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-32 - 16 - 16) = x^3 - 64$

Таким образом, выражение равно:

$\frac{x^3 - 64}{x^3 - 64} = 1$

Ответ: $1$

4.

Докажем тождество: $\frac{1}{x(x-4)} + \frac{1}{(x-4)(x-8)} + \frac{1}{(x-8)(x-12)} + \frac{1}{(x-12)(x-16)} = \frac{4}{x(x-16)}$.

Для доказательства преобразуем левую часть. Используем метод разложения дроби вида $\frac{1}{(z-a)(z-b)}$ на простейшие: $\frac{1}{(z-a)(z-b)} = \frac{1}{a-b}(\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b})$.

В нашем случае разность между множителями в знаменателе всегда равна 4. Поэтому каждую дробь можно представить в виде:

$\frac{1}{(x-k)(x-k-4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x-k-4} - \frac{1}{x-k} \right)$

Разложим каждую дробь в левой части тождества:

$\frac{1}{x(x-4)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x}\right)$

$\frac{1}{(x-4)(x-8)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-8} - \frac{1}{x-4}\right)$

$\frac{1}{(x-8)(x-12)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-12} - \frac{1}{x-8}\right)$

$\frac{1}{(x-12)(x-16)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-16} - \frac{1}{x-12}\right)$

Теперь сложим все эти выражения. Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x}\right) + \left(\frac{1}{x-8} - \frac{1}{x-4}\right) + \left(\frac{1}{x-12} - \frac{1}{x-8}\right) + \left(\frac{1}{x-16} - \frac{1}{x-12}\right) \right]$

Внутри скобок многие слагаемые взаимно уничтожаются (телескопическая сумма):

$\frac{1}{4} \left[ -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-8} - \frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-12} - \frac{1}{x-12} + \frac{1}{x-16} \right]$

Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{x-16} - \frac{1}{x} \right]$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x-16)$:

$\frac{1}{4} \left[ \frac{x - (x-16)}{x(x-16)} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{x - x + 16}{x(x-16)} \right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{x(x-16)}$

$\frac{16}{4x(x-16)} = \frac{4}{x(x-16)}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.