Номер 5, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4. Самостоятельные работы - номер 5, страница 68.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Рациональные дроби

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{b-3}{b+11}$;

2) $\frac{3}{|x|-5}$;

3) $\frac{b}{b+2} - \frac{2}{b-4}$;

4) $\frac{3}{4 - \frac{4}{x}}$?

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме 5, 6 и -2.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение дроби:

1) $\frac{16d - d^2 - 65}{d^2 + 4d + 4}$ отрицательное;

2) $\frac{d^2 - 12d + 36}{d^{10} + 1}$ неотрицательное.

4. Известно, что $12x - 3y = 4$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3}{8x - 2y}$;

2) $\frac{24}{y^2 - 8xy + 16x^2}$.

Решение.

1.

1) Выражение $\frac{b-3}{b+11}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
$b + 11 \neq 0$
$b \neq -11$
Выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b = -11$.
Ответ: $b \neq -11$.

2) Выражение $\frac{3}{|x|-5}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
$|x| - 5 \neq 0$
$|x| \neq 5$
$x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 5$ и $x = -5$.
Ответ: $x \neq 5; x \neq -5$.

3) Выражение $\frac{b}{b+2} - \frac{2}{b-4}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.
Первый знаменатель: $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$.
Второй знаменатель: $b - 4 \neq 0 \Rightarrow b \neq 4$.
Выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b = -2$ и $b = 4$.
Ответ: $b \neq -2; b \neq 4$.

4) В выражении $\frac{3}{4 - \frac{4}{x}}$ есть два знаменателя, которые не должны быть равны нулю.
Во-первых, знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
Во-вторых, знаменатель основной дроби: $4 - \frac{4}{x} \neq 0$.
Решим уравнение $4 - \frac{4}{x} = 0$:
$4 = \frac{4}{x}$
$4x = 4$
$x = 1$
Следовательно, $x \neq 1$.
Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = 1$.
Ответ: $x \neq 0; x \neq 1$.

2. Допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме 5, 6 и -2. Это означает, что знаменатель рациональной дроби должен обращаться в ноль при $x=5$, $x=6$ и $x=-2$.
Следовательно, знаменатель должен содержать множители $(x-5)$, $(x-6)$ и $(x-(-2))=(x+2)$.
В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля, например, 1.
Таким образом, искомая дробь может иметь вид: $\frac{1}{(x-5)(x-6)(x+2)}$.
Ответ: $\frac{1}{(x-5)(x-6)(x+2)}$.

3.

1) Рассмотрим дробь $\frac{16d - d^2 - 65}{d^2 + 4d + 4}$.
Определим область допустимых значений. Знаменатель не должен равняться нулю: $d^2 + 4d + 4 \neq 0$.
Свернем знаменатель по формуле квадрата суммы: $(d+2)^2 \neq 0$, откуда $d \neq -2$.
При всех допустимых значениях $d$, знаменатель $(d+2)^2$ является квадратом ненулевого числа, а значит, он всегда строго положителен: $(d+2)^2 > 0$.
Теперь преобразуем числитель: $16d - d^2 - 65 = -(d^2 - 16d + 65)$.
Выделим в скобках полный квадрат: $d^2 - 16d + 65 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) - 8^2 + 65 = (d-8)^2 - 64 + 65 = (d-8)^2 + 1$.
Тогда числитель равен $-((d-8)^2 + 1) = -(d-8)^2 - 1$.
Так как $(d-8)^2 \ge 0$ для любого действительного $d$, то $(d-8)^2 + 1 \ge 1$.
Следовательно, числитель $-(d-8)^2 - 1 \le -1$, то есть он всегда отрицателен.
Значение всей дроби является отношением отрицательного числителя к положительному знаменателю, поэтому оно всегда отрицательно при всех допустимых значениях $d$.
Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим дробь $\frac{d^2 - 12d + 36}{d^{10} + 1}$.
Преобразуем числитель по формуле квадрата разности: $d^2 - 12d + 36 = (d-6)^2$.
Числитель $(d-6)^2$ как полный квадрат всегда больше или равен нулю, то есть $(d-6)^2 \ge 0$ (неотрицателен).
Рассмотрим знаменатель: $d^{10} + 1$.
Степень $d^{10}$ является четной, поэтому $d^{10} \ge 0$ для любого действительного $d$.
Следовательно, знаменатель $d^{10} + 1 \ge 1$, то есть он всегда строго положителен. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому дробь определена для всех действительных чисел $d$.
Значение дроби является отношением неотрицательного числителя к положительному знаменателю, поэтому оно всегда неотрицательно.
Ответ: Доказано.

4.

Известно, что $12x - 3y = 4$. Преобразуем это выражение.
Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(4x - y) = 4$.
Отсюда выразим $4x - y$: $4x - y = \frac{4}{3}$.

1) Найдем значение выражения $\frac{3}{8x - 2y}$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки 2: $8x - 2y = 2(4x - y)$.
Подставим ранее найденное значение $4x - y = \frac{4}{3}$:
$8x - 2y = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь вычислим значение дроби:
$\frac{3}{8x - 2y} = \frac{3}{\frac{8}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.
Ответ: $\frac{9}{8}$.

2) Найдем значение выражения $\frac{24}{y^2 - 8xy + 16x^2}$.
Преобразуем знаменатель. Заметим, что это полный квадрат разности:
$y^2 - 8xy + 16x^2 = 16x^2 - 8xy + y^2 = (4x - y)^2$.
Подставим значение $4x - y = \frac{4}{3}$:
$(4x - y)^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
Теперь вычислим значение дроби:
$\frac{24}{y^2 - 8xy + 16x^2} = \frac{24}{(\frac{4}{3})^2} = \frac{24}{\frac{16}{9}} = 24 \cdot \frac{9}{16} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 8} = \frac{27}{2}$.
Ответ: $\frac{27}{2}$.