Номер 41, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 41, страница 66.
№41 (с. 66)
Условие. №41 (с. 66)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 41
Корни многочлена. Теорема Безу.
Целое рациональное уравнение
1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + 4x^2 - 3x + 7$ на двучлен $x - 2$.
2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x + 2)^n + (x + 1)^{2n} - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, делится нацело на многочлен $x^2 + 3x + 2$.
3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 + ax^2 + 2x - 9$ при делении на двучлен $x - 3$ даёт в остатке $6$?
4. Решите уравнение $2x^4 - 5x^3 + 5x - 2 = 0$.
Решение. №41 (с. 66)
1.
Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 7$ на двучлен $x - 2$, воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - c$ равен значению многочлена в точке $c$.
В нашем случае $c = 2$. Найдем значение многочлена $P(x)$ при $x = 2$:
$P(2) = 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 7 = 8 + 4 \cdot 4 - 6 + 7 = 8 + 16 - 6 + 7 = 25$.
Таким образом, остаток от деления равен 25.
Ответ: 25.
2.
Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x + 2)^n + (x + 1)^{2n} - 1$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 + 3x + 2$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$.
Сначала найдем корни многочлена $Q(x) = x^2 + 3x + 2$. Решим уравнение:
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $Q(x) = (x + 1)(x + 2)$.
Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть, равны ли $P(-1)$ и $P(-2)$ нулю.
Найдем значение $P(x)$ при $x = -1$:
$P(-1) = (-1 + 2)^n + (-1 + 1)^{2n} - 1 = 1^n + 0^{2n} - 1$.
Поскольку $n \in N$, то $n \ge 1$, значит $1^n = 1$ и $0^{2n} = 0$.
$P(-1) = 1 + 0 - 1 = 0$.
Найдем значение $P(x)$ при $x = -2$:
$P(-2) = (-2 + 2)^n + (-2 + 1)^{2n} - 1 = 0^n + (-1)^{2n} - 1$.
Поскольку $n \in N$, то $n \ge 1$, значит $0^n = 0$. Показатель $2n$ всегда является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$.
$P(-2) = 0 + 1 - 1 = 0$.
Так как оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка.
Ответ: Доказано.
3.
Пусть $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x - 9$. По условию, при делении этого многочлена на двучлен $x - 3$ остаток равен 6.
Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x - c$ равен $P(c)$. В данном случае $c = 3$, а остаток равен 6. Следовательно, должно выполняться равенство $P(3) = 6$.
Подставим $x = 3$ в многочлен $P(x)$:
$P(3) = 3^3 + a \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 - 9$
$P(3) = 27 + 9a + 6 - 9$
$P(3) = 9a + 24$
Теперь приравняем полученное выражение к заданному остатку:
$9a + 24 = 6$
$9a = 6 - 24$
$9a = -18$
$a = \frac{-18}{9} = -2$
Ответ: -2.
4.
Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 + 5x - 2 = 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$(2x^4 - 2) + (-5x^3 + 5x) = 0$
Вынесем общие множители за скобки:
$2(x^4 - 1) - 5x(x^2 - 1) = 0$
Разложим $x^4 - 1$ как разность квадратов $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$:
$2(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 5x(x^2 - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобку:
$(x^2 - 1)(2(x^2 + 1) - 5x) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три случая:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
3) $2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\{-1; \frac{1}{2}; 1; 2\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 41 расположенного на странице 66 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41 (с. 66), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.