Номер 41, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 41, страница 66.

Условие.

Самостоятельная работа № 41

Корни многочлена. Теорема Безу.

Целое рациональное уравнение

1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + 4x^2 - 3x + 7$ на двучлен $x - 2$.

2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x + 2)^n + (x + 1)^{2n} - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, делится нацело на многочлен $x^2 + 3x + 2$.

3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 + ax^2 + 2x - 9$ при делении на двучлен $x - 3$ даёт в остатке $6$?

4. Решите уравнение $2x^4 - 5x^3 + 5x - 2 = 0$.

Решение.

1.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 7$ на двучлен $x - 2$, воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - c$ равен значению многочлена в точке $c$.

В нашем случае $c = 2$. Найдем значение многочлена $P(x)$ при $x = 2$:

$P(2) = 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 7 = 8 + 4 \cdot 4 - 6 + 7 = 8 + 16 - 6 + 7 = 25$.

Таким образом, остаток от деления равен 25.

Ответ: 25.

2.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x + 2)^n + (x + 1)^{2n} - 1$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 + 3x + 2$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$.

Сначала найдем корни многочлена $Q(x) = x^2 + 3x + 2$. Решим уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $Q(x) = (x + 1)(x + 2)$.

Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть, равны ли $P(-1)$ и $P(-2)$ нулю.

Найдем значение $P(x)$ при $x = -1$:

$P(-1) = (-1 + 2)^n + (-1 + 1)^{2n} - 1 = 1^n + 0^{2n} - 1$.

Поскольку $n \in N$, то $n \ge 1$, значит $1^n = 1$ и $0^{2n} = 0$.

$P(-1) = 1 + 0 - 1 = 0$.

Найдем значение $P(x)$ при $x = -2$:

$P(-2) = (-2 + 2)^n + (-2 + 1)^{2n} - 1 = 0^n + (-1)^{2n} - 1$.

Поскольку $n \in N$, то $n \ge 1$, значит $0^n = 0$. Показатель $2n$ всегда является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$.

$P(-2) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка.

Ответ: Доказано.

3.

Пусть $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x - 9$. По условию, при делении этого многочлена на двучлен $x - 3$ остаток равен 6.

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x - c$ равен $P(c)$. В данном случае $c = 3$, а остаток равен 6. Следовательно, должно выполняться равенство $P(3) = 6$.

Подставим $x = 3$ в многочлен $P(x)$:

$P(3) = 3^3 + a \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 - 9$

$P(3) = 27 + 9a + 6 - 9$

$P(3) = 9a + 24$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному остатку:

$9a + 24 = 6$

$9a = 6 - 24$

$9a = -18$

$a = \frac{-18}{9} = -2$

Ответ: -2.

4.

Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 + 5x - 2 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^4 - 2) + (-5x^3 + 5x) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$2(x^4 - 1) - 5x(x^2 - 1) = 0$

Разложим $x^4 - 1$ как разность квадратов $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$:

$2(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 5x(x^2 - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобку:

$(x^2 - 1)(2(x^2 + 1) - 5x) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2) $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

3) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\{-1; \frac{1}{2}; 1; 2\}$.