Номер 34, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 34, страница 63.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Формула корней квадратного уравнения

1. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x - 27 = 0;$

2) $4x^2 - 2x - 5 = 0;$

3) $x^2 - 12x + 40 = 0.$

2. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат третьего из них на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 11x - 6| = 6;$

2) $x|x| + 5x - 4 = 0;$

3) $x^2 + 2x + \frac{7}{x - 6} = 48 + \frac{7}{x - 6};$

4) $(\sqrt{x} - 7)(24x^2 - 14x - 3) = 0.$

4. При каких значениях параметра c имеет единственный корень уравнение:

1) $16x^2 + cx + 4 = 0;$

2) $(c + 1)x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0.$

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x - 27 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{6 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Ответ: $-3; 9$.

2) $4x^2 - 2x - 5 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 4 + 80 = 84$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{21}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{21}}{4}; \frac{1 + \sqrt{21}}{4}$.

3) $x^2 - 12x + 40 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 144 - 160 = -16$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

2. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат третьего из них на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел.

Пусть первое нечётное натуральное число равно $n$. Тогда следующие два последовательных нечётных числа будут $n+2$ и $n+4$.
По условию задачи, квадрат третьего числа ($(n+4)^2$) на 24 меньше утроенного произведения первого и второго ($3n(n+2)$). Составим уравнение:
$(n+4)^2 = 3n(n+2) - 24$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$n^2 + 8n + 16 = 3n^2 + 6n - 24$
$2n^2 - 2n - 40 = 0$
Разделим обе части на 2:
$n^2 - n - 20 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $n_1 = 5$ и $n_2 = -4$.
Поскольку искомые числа - натуральные, корень $n = -4$ не подходит.
Следовательно, первое число равно 5.
Второе число: $5 + 2 = 7$.
Третье число: $5 + 4 = 9$.
Проверка: $9^2 = 81$. $3 \cdot 5 \cdot 7 - 24 = 105 - 24 = 81$. Условие выполняется.
Ответ: 5, 7, 9.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 11x - 6| = 6$
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x^2 + 11x - 6 = 6 \implies x^2 + 11x - 12 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_1 = 1$, $x_2 = -12$.
2) $x^2 + 11x - 6 = -6 \implies x^2 + 11x = 0 \implies x(x+11) = 0$.
Корни этого уравнения $x_3 = 0$, $x_4 = -11$.
Объединяя решения, получаем четыре корня.
Ответ: $-12; -11; 0; 1$.

2) $x|x| + 5x - 4 = 0$
Рассмотрим два случая:
1) При $x \ge 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + 5x - 4 = 0$.
$D = 5^2 - 4(1)(-4) = 25 + 16 = 41$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$.
2) При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x^2 + 5x - 4 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_2 = 1$, $x_3 = 4$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$.

3) $x^2 + 2x + \frac{7}{x-6} = 48 + \frac{7}{x-6}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$.
Вычтем из обеих частей уравнения $\frac{7}{x-6}$:
$x^2 + 2x = 48$
$x^2 + 2x - 48 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 6$, $x_2 = -8$.
Корень $x_1 = 6$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Единственное решение - $x = -8$.
Ответ: $-8$.

4) $(\sqrt{x} - 7)(24x^2 - 14x - 3) = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sqrt{x} - 7 = 0 \implies \sqrt{x} = 7 \implies x = 49$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2) $24x^2 - 14x - 3 = 0$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-3) = 196 + 288 = 484 = 22^2$.
$x_{1,2} = \frac{14 \pm 22}{2 \cdot 24} = \frac{14 \pm 22}{48}$.
$x_1 = \frac{14 + 22}{48} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{14 - 22}{48} = \frac{-8}{48} = -\frac{1}{6}$. Корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $\frac{3}{4}; 49$.

4. При каких значениях параметра c имеет единственный корень уравнение:

1) $16x^2 + cx + 4 = 0$
Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($16 \neq 0$). Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D=0$).
$D = c^2 - 4 \cdot 16 \cdot 4 = c^2 - 256$.
$c^2 - 256 = 0 \implies c^2 = 256 \implies c = \pm 16$.
Ответ: при $c = -16$ или $c = 16$.

2) $(c + 1)x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0$
Рассмотрим два случая.
1) Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, уравнение становится линейным.
$c + 1 = 0 \implies c = -1$.
Подставим $c = -1$ в уравнение:
$(-1 + 1)x^2 + (2(-1) + 2)x - 5 = 0$
$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 5 = 0$
$-5 = 0$. Это неверное равенство, значит, при $c = -1$ уравнение не имеет корней.
2) Если $c + 1 \neq 0$, то есть $c \neq -1$, уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень при $D = 0$.
$D = (2c + 2)^2 - 4(c + 1)(-5) = (2(c+1))^2 + 20(c+1) = 4(c+1)^2 + 20(c+1)$.
$4(c+1)^2 + 20(c+1) = 0$.
Вынесем общий множитель $4(c+1)$:
$4(c+1)((c+1) + 5) = 0$
$4(c+1)(c+6) = 0$.
Отсюда $c+1 = 0$ или $c+6 = 0$.
$c = -1$ или $c = -6$.
Так как мы рассматриваем случай $c \neq -1$, единственным подходящим значением является $c = -6$.
Ответ: при $c = -6$.