Номер 28, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 28, страница 60.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Множество действительных чисел

1. Верно ли утверждение:

1) $-2,3 \notin N$

2) $\sqrt{7} \in Q$

3) $\sqrt{7} \notin R$

4) $\sqrt{49} \in Z$?

2. Сравните числа:

1) $\frac{2}{9}$ и $0,22$

2) $7,(24)$ и $7,24$

3) $-4,(39)$ и $-4,39$

4) $8,12...$ и $8,13...$

3. Найдите все рациональные числа $m$ и $n$ такие, что

$(\sqrt{11}-1)^2 = m+n\sqrt{11}$.

4. Докажите, что число $\sqrt{6}$ является иррациональным.

Решение.

1. Верно ли утверждение:

1) -2,3 ∉ N
Множество натуральных чисел $N$ включает в себя целые положительные числа, используемые при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число -2,3 является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) √7 ∈ Q
Множество рациональных чисел $Q$ состоит из чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 7 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{7}$ является иррациональным числом, которое нельзя представить в виде такой дроби. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) √7 ∉ R
Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку $\sqrt{7}$ — иррациональное число, оно является действительным числом. Следовательно, $\sqrt{7} \in R$. Утверждение, что $\sqrt{7}$ не принадлежит $R$, неверно.
Ответ: Неверно.

4) √49 ∈ Z?
Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Поскольку $\sqrt{49} = 7$, а 7 является целым числом, то утверждение верно.
Ответ: Верно.

2. Сравните числа:

1) $\frac{2}{9}$ и 0,22
Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{2}{9}$ в десятичную: $\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$.
Сравниваем $0,(2)$ и $0,22$.
$0,222... > 0,220...$
Следовательно, $\frac{2}{9} > 0,22$.
Ответ: $\frac{2}{9} > 0,22$.

2) 7,(24) и 7,24
Число $7,(24)$ — это периодическая дробь $7,242424...$.
Число $7,24$ можно записать как $7,240000...$.
Сравнивая числа поразрядно, видим, что первые два знака после запятой совпадают. Третий знак у первого числа — 2, а у второго — 0. Так как $2 > 0$, то $7,242424... > 7,240000...$.
Ответ: $7,(24) > 7,24$.

3) -4,(39) и -4,39
Сначала сравним положительные числа $4,(39)$ и $4,39$.
$4,(39) = 4,393939...$
$4,39 = 4,390000...$
$4,3939... > 4,3900...$, следовательно, $4,(39) > 4,39$.
При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Так как $|-4,(39)| > |-4,39|$, то $-4,(39) < -4,39$.
Ответ: $-4,(39) < -4,39$.

4) 8,12... и 8,13...
Сравниваем числа поразрядно. Целые части (8) и первые цифры после запятой (1) у чисел одинаковы. Вторая цифра после запятой у первого числа — 2, а у второго — 3. Так как $2 < 3$, то первое число меньше второго.
Ответ: $8,12... < 8,13...$

3. Найдите все рациональные числа m и n такие, что $(\sqrt{11}-1)^2 = m + n\sqrt{11}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{11}-1)^2 = (\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot 1 + 1^2 = 11 - 2\sqrt{11} + 1 = 12 - 2\sqrt{11}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части уравнения:
$12 - 2\sqrt{11} = m + n\sqrt{11}$.
Так как $m$ и $n$ — рациональные числа, а $\sqrt{11}$ — иррациональное, равенство возможно только в том случае, если рациональные и иррациональные части в обеих сторонах уравнения равны.
Приравниваем рациональные части: $m = 12$.
Приравниваем иррациональные части: $-2\sqrt{11} = n\sqrt{11}$.
Отсюда находим $n$: $n = -2$.
Оба числа, $m=12$ и $n=-2$, являются рациональными.
Ответ: $m=12, n=-2$.

4. Докажите, что число $\sqrt{6}$ является иррациональным.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что $\sqrt{6}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$, $q \in N$, и $p$ и $q$ взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).
$\sqrt{6} = \frac{p}{q}$
Возведем обе части в квадрат:
$6 = \frac{p^2}{q^2}$
$p^2 = 6q^2$
Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 6, а значит, делится на 2 и на 3. Если квадрат числа делится на простое число 2, то и само число делится на 2. Следовательно, $p$ — четное число. Представим $p$ в виде $p=2k$, где $k$ — целое число.
Подставим $2k$ вместо $p$ в уравнение $p^2 = 6q^2$:
$(2k)^2 = 6q^2$
$4k^2 = 6q^2$
Разделим обе части на 2:
$2k^2 = 3q^2$
Из этого равенства следует, что $3q^2$ является четным числом. Так как 3 — нечетное, то $q^2$ должно быть четным. Если $q^2$ четное, то и $q$ является четным.
Мы получили, что и $p$, и $q$ являются четными числами, то есть оба делятся на 2. Это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая. Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{6}$ является рациональным числом, неверно.
Ответ: Число $\sqrt{6}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.