Номер 26, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 26, страница 59.

Условие.

Самостоятельная работа № 26

Функция $y = x^2$ и её график

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 3x - 2$;

2) $x^2 + x + 2 = 0$.

2. Определите графически количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = x^2, \\ y - 4x - 7 = 0. \end{cases}$

3. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le -2, \\ x + 6, \text{ если } x > -2; \end{cases}$

2) $y = \frac{x^3 + 2x^2}{x + 2}$.

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(y - 4) = 0$;

2) $(y - x^2)^2 + (y - 4)^2 = 0$.

Решение.

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 3x - 2$

Для решения уравнения графическим методом, представим его в виде равенства двух функций: $y = x^2$ и $y = 3x - 2$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.
1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.
2. Построим график функции $y = 3x - 2$. Это прямая. Для её построения найдём две точки:
- если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Точка (1, 1).
- если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. Точка (2, 4).
3. Построим оба графика в одной системе координат. Мы увидим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках: (1, 1) и (2, 4).
Абсциссы этих точек пересечения, $x=1$ и $x=2$, и являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = -x - 2$.
Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = -x - 2$.
1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в (0, 0). Все значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$).
2. График функции $y = -x - 2$ — прямая. Найдем две точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
- если $x = -2$, то $y = -(-2) - 2 = 0$. Точка (-2, 0).
3. Построив графики, можно увидеть, что парабола и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Парабола $y=x^2$ целиком лежит выше прямой $y=-x-2$.
Это означает, что уравнение не имеет решений. Для проверки можно найти дискриминант квадратного уравнения $x^2 + x + 2 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: решений нет.

2. Определите графически количество решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ y - 4x - 7 = 0 \end{cases}$

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
Первое уравнение $y = x^2$ задаёт параболу с вершиной в начале координат.
Второе уравнение можно переписать в виде $y = 4x + 7$. Это уравнение задаёт прямую.
Построим эскизы графиков. Парабола $y = x^2$ проходит через точки (0,0), (-1,1), (1,1), (-2,4), (2,4) и т.д. Прямая $y = 4x + 7$ проходит, например, через точки (0, 7) и (-1, 3).
Так как прямая имеет положительный угловой коэффициент и пересекает ось Y выше вершины параболы, она обязательно пересечёт параболу в двух точках.
Чтобы убедиться в этом, приравняем правые части уравнений: $x^2 = 4x + 7$, или $x^2 - 4x - 7 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует двум точкам пересечения графиков.
Ответ: 2 решения.

3. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le -2 \\ x+6, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной.
1. На промежутке $x \le -2$ строим график функции $y = x^2$. Это левая ветвь стандартной параболы. Найдём значение на границе промежутка: при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка (-2, 4) принадлежит графику.
2. На промежутке $x > -2$ строим график функции $y = x + 6$. Это луч. Найдём значение на границе промежутка: при $x = -2$, $y = -2 + 6 = 4$. Точка (-2, 4) не принадлежит этому лучу (она выколотая), но она совпадает с граничной точкой первой части графика. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=6$.
График состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ до точки (-2, 4) включительно и луча $y=x+6$, выходящего из той же точки (-2, 4). Так как значения функции в точке $x = -2$ совпадают, разрыва в этой точке нет.
Ответ: График состоит из части параболы $y=x^2$ для $x \le -2$ и луча $y=x+6$ для $x > -2$, которые соединяются в точке (-2, 4).

2) $y = \frac{x^3 + 2x^2}{x + 2}$

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Теперь упростим выражение для функции, вынеся общий множитель в числителе:
$y = \frac{x^2(x + 2)}{x + 2}$
При условии $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x + 2)$ и получить $y = x^2$.
Таким образом, график данной функции — это парабола $y = x^2$, из которой удалена точка, соответствующая абсциссе $x = -2$.
Найдём ординату этой точки: $y = (-2)^2 = 4$.
Следовательно, график функции — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой (-2, 4).
Ответ: График функции — парабола $y=x^2$ с выколотой точкой (-2, 4).

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(y - 4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y - x^2 = 0$ или $y - 4 = 0$, что можно записать как $y = x^2$ или $y = 4$.
График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.
- График $y = x^2$ — это стандартная парабола.
- График $y = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 4) параллельно оси Ox.
Ответ: График уравнения представляет собой объединение параболы $y=x^2$ и горизонтальной прямой $y=4$.

2) $(y - x^2)^2 + (y - 4)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.
$(y - x^2)^2 \ge 0$ и $(y - 4)^2 \ge 0$.
Поэтому равенство нулю возможно только при одновременном выполнении условий:
$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases}$
Это система уравнений. Из второго уравнения сразу получаем $y = 4$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Таким образом, решением системы являются две пары чисел: (2, 4) и (-2, 4).
Графиком данного уравнения являются две точки на координатной плоскости.
Ответ: График уравнения состоит из двух точек: (2, 4) и (-2, 4).