Номер 25, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 25, страница 58.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1. Решите уравнение:

1) $|x + 6| = 2$;

2) $|4x + 3| = |x - 1|$;

3) $|x + 2| = 3x - 6$.

2. Решите неравенство:

1) $|5x - 1| < 9$;

2) $|7x + 2| > x - 5$.

3. Постройте график функции $y = |x + 4| + |x - 2|$.

4. Решите уравнение $\frac{|x - 5|}{|x - 3| - 2} = 1$.

5. Определите количество корней уравнения $|4x - 1| = x + a$ в зависимости от значений параметра $a$.

Решение.

1)Уравнение $|x + 6| = 2$ равносильно совокупности двух уравнений:
1. $x + 6 = 2 \implies x = 2 - 6 \implies x = -4$.
2. $x + 6 = -2 \implies x = -2 - 6 \implies x = -8$.
Ответ: $-8; -4$.

2)Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
1. $4x + 3 = x - 1 \implies 3x = -4 \implies x = -4/3$.
2. $4x + 3 = -(x - 1) \implies 4x + 3 = -x + 1 \implies 5x = -2 \implies x = -2/5$.
Ответ: $-4/3; -2/5$.

3)Данное уравнение равносильно системе, в которой правая часть должна быть неотрицательной:
$\begin{cases} 3x - 6 \ge 0 \\ x + 2 = 3x - 6 \text{ или } x + 2 = -(3x - 6) \end{cases}$
Из первого условия $3x \ge 6 \implies x \ge 2$.
Теперь решим два уравнения с учетом этого условия:
1. $x + 2 = 3x - 6 \implies 8 = 2x \implies x = 4$. Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.
2. $x + 2 = -3x + 6 \implies 4x = 4 \implies x = 1$. Корень $x=1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $4$.

1)Неравенство вида $|A| < B$ (где $B > 0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-9 < 5x - 1 < 9$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-9 + 1 < 5x < 9 + 1$
$-8 < 5x < 10$
Разделим все части на 5:
$-8/5 < x < 2$
Ответ: $(-8/5; 2)$.

2)Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
1. $7x + 2 > x - 5 \implies 6x > -7 \implies x > -7/6$.
2. $7x + 2 < -(x - 5) \implies 7x + 2 < -x + 5 \implies 8x < 3 \implies x < 3/8$.
Решением является объединение этих двух интервалов: $(-\infty; 3/8) \cup (-7/6; +\infty)$. Так как $-7/6 < 3/8$, объединение этих множеств покрывает всю числовую прямую.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3.Для построения графика функции $y = |x + 4| + |x - 2|$ раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x = -4$ и $x = 2$. Они разбивают числовую ось на три интервала.
1. При $x < -4$: $y = -(x + 4) - (x - 2) = -2x - 2$.
2. При $-4 \le x < 2$: $y = (x + 4) - (x - 2) = 6$.
3. При $x \ge 2$: $y = (x + 4) + (x - 2) = 2x + 2$.
Таким образом, функция является кусочно-линейной:
$y = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x < -4 \\ 6, & \text{если } -4 \le x < 2 \\ 2x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$
График состоит из луча $y = -2x - 2$ до точки $(-4, 6)$, горизонтального отрезка $y = 6$ между точками $(-4, 6)$ и $(2, 6)$, и луча $y = 2x + 2$ от точки $(2, 6)$ и далее.
Ответ: График функции — это "ковш", состоящий из луча, идущего из бесконечности к точке $(-4, 6)$, горизонтального отрезка от $(-4, 6)$ до $(2, 6)$ и луча, идущего от точки $(2, 6)$ в бесконечность.

4.Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю:
$|x - 3| - 2 \ne 0 \implies |x - 3| \ne 2$.
Отсюда $x - 3 \ne 2$ и $x - 3 \ne -2$, то есть $x \ne 5$ и $x \ne 1$.
Теперь решим уравнение:
$\frac{|x - 5|}{|x - 3| - 2} = 1 \implies |x - 5| = |x - 3| - 2 \implies |x - 5| - |x - 3| = -2$.
Раскроем модули, рассмотрев три интервала, определяемые точками $x=3$ и $x=5$.
1. При $x < 3$: $-(x - 5) - (-(x - 3)) = -2 \implies -x + 5 + x - 3 = -2 \implies 2 = -2$. Решений нет.
2. При $3 \le x < 5$: $-(x - 5) - (x - 3) = -2 \implies -x + 5 - x + 3 = -2 \implies -2x + 8 = -2 \implies -2x = -10 \implies x = 5$. Этот корень не входит в данный интервал.
3. При $x \ge 5$: $(x - 5) - (x - 3) = -2 \implies x - 5 - x + 3 = -2 \implies -2 = -2$. Это тождество, значит, все $x$ из данного интервала являются решениями.
Итак, решением является промежуток $x \ge 5$. С учетом ОДЗ ($x \ne 5$), получаем $x > 5$.
Ответ: $(5; +\infty)$.

5.Рассмотрим задачу графически, анализируя количество точек пересечения графиков функций $y = |4x - 1|$ и $y = x + a$.
График $y = |4x - 1|$ — это V-образная кривая ( "галочка") с вершиной в точке, где $4x - 1 = 0$, то есть $x = 1/4$. Координаты вершины $(1/4, 0)$.
График $y = x + a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по оси $y$.
Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.
1. Нет корней: прямая $y = x + a$ проходит полностью ниже графика $y = |4x - 1|$.
2. Один корень: прямая касается графика $y = |4x - 1|$ в его вершине.
3. Два корня: прямая пересекает обе ветви графика $y = |4x - 1|$.
Критический случай — прохождение прямой через вершину $(1/4, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение $a$:
$0 = 1/4 + a \implies a = -1/4$.
- Если $a < -1/4$, прямая находится ниже вершины и не пересекает график. Корней нет.
- Если $a = -1/4$, прямая касается графика в вершине. Один корень.
- Если $a > -1/4$, прямая находится выше вершины и пересекает обе ветви графика. Два корня.
Ответ: если $a < -1/4$, корней нет; если $a = -1/4$, один корень; если $a > -1/4$, два корня.