Номер 18, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 18, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Наибольший общий делитель и наименьшее

общее кратное двух натуральных чисел.

Взаимно простые числа

1. Используя алгоритм Евклида, найдите $НОД (3553; 1463)$.

2. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) $НОД (n; 6n + 1) = 1$;

2) $НОД (3n; 12n + 3) = 3$.

3. Натуральные числа a и b таковы, что $НОК (a; b) = 121$. Найдите a и b.

4. Какие значения может принимать $НОД (a; b)$, если $a = 4n + 1, b = 4n + 8, n \in N$?

Решение.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 3553 и 1463. Алгоритм заключается в последовательном делении с остатком.

• Шаг 1: Делим большее число на меньшее.
  $3553 = 1463 \cdot 2 + 627$
• Шаг 2: Делим делитель предыдущего шага (1463) на полученный остаток (627).
  $1463 = 627 \cdot 2 + 209$
• Шаг 3: Повторяем процедуру. Делим 627 на 209.
  $627 = 209 \cdot 3 + 0$

Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем. В данном случае это 209.

Ответ: НОД (3553; 1463) = 209.

2.

1) Докажем, что НОД ($n; 6n + 1$) = 1.
Воспользуемся свойством НОД: НОД($a; b$) = НОД($a; b - k \cdot a$) для любого целого $k$.
Пусть $a = n$, $b = 6n + 1$ и $k = 6$.
Тогда НОД($n; 6n + 1$) = НОД($n; (6n + 1) - 6 \cdot n$) = НОД($n; 1$).
Наибольший общий делитель любого натурального числа $n$ и числа 1 всегда равен 1.
Следовательно, НОД($n; 6n + 1$) = 1, что и требовалось доказать.

Ответ: НОД($n; 6n + 1$) = 1.

2) Докажем, что НОД ($3n; 12n + 3$) = 3.
Используем то же свойство НОД: НОД($a; b$) = НОД($a; b - k \cdot a$).
Пусть $a = 3n$, $b = 12n + 3$. Заметим, что $12n = 4 \cdot (3n)$, поэтому выберем $k = 4$.
Тогда НОД($3n; 12n + 3$) = НОД($3n; (12n + 3) - 4 \cdot (3n)$) = НОД($3n; 3$).
Так как $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $3n$ является кратным 3. Наибольшим общим делителем числа, кратного 3, и самого числа 3 является 3.
Следовательно, НОД($3n; 12n + 3$) = 3, что и требовалось доказать.

Ответ: НОД($3n; 12n + 3$) = 3.

3. Нам дано, что наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ равно 121.
Разложим 121 на простые множители: $121 = 11^2$.
Это означает, что простыми множителями чисел $a$ и $b$ может быть только число 11. Таким образом, $a$ и $b$ можно представить в виде $a = 11^x$ и $b = 11^y$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.
Формула для НОК в этом случае: НОК($a; b$) = НОК($11^x; 11^y$) = $11^{\max(x, y)}$.
Из условия НОК($a; b$) = 121 = $11^2$, следует, что $\max(x, y) = 2$.
Это означает, что хотя бы один из показателей степени ($x$ или $y$) должен быть равен 2, а другой может быть 0, 1 или 2.
Перечислим все возможные пары ($a, b$):

• Если $x=2, y=0$: $a=11^2=121$, $b=11^0=1$.
• Если $x=2, y=1$: $a=11^2=121$, $b=11^1=11$.
• Если $x=2, y=2$: $a=11^2=121$, $b=11^2=121$.
• Если $x=0, y=2$: $a=11^0=1$, $b=11^2=121$.
• Если $x=1, y=2$: $a=11^1=11$, $b=11^2=121$.

Ответ: Возможные пары чисел ($a; b$): (1; 121), (121; 1), (11; 121), (121; 11), (121; 121).

4. Найдем возможные значения НОД($a; b$), где $a = 4n + 1$ и $b = 4n + 8$ для $n \in N$.
Пусть $d = \text{НОД}(a; b) = \text{НОД}(4n + 1; 4n + 8)$.
Воспользуемся свойством НОД: НОД($a; b$) = НОД($a; b - a$).
$d = \text{НОД}(4n + 1; (4n + 8) - (4n + 1)) = \text{НОД}(4n + 1; 7)$.
Это означает, что НОД чисел $a$ и $b$ является делителем числа 7. Делителями числа 7 являются 1 и 7.
Таким образом, НОД($a; b$) может принимать значения 1 или 7.
Проверим, могут ли оба эти значения достигаться:

• Может ли НОД быть равен 7?
  Это возможно, если $4n + 1$ делится на 7.
  $4n + 1 \equiv 0 \pmod{7} \implies 4n \equiv -1 \pmod{7} \implies 4n \equiv 6 \pmod{7}$.
  Умножим обе части на 2 (так как $2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$): $8n \equiv 12 \pmod{7} \implies n \equiv 5 \pmod{7}$.
  Например, при $n = 5$ (что является натуральным числом), получаем $a = 4(5) + 1 = 21$, $b = 4(5) + 8 = 28$.
  НОД(21; 28) = 7. Значит, значение 7 возможно.
• Может ли НОД быть равен 1?
  Это возможно, если $4n + 1$ не делится на 7. Это выполняется для любого $n$, не удовлетворяющего условию $n \equiv 5 \pmod{7}$.
  Например, при $n = 1$ (натуральное число), получаем $a = 4(1) + 1 = 5$, $b = 4(1) + 8 = 12$.
  НОД(5; 12) = 1. Значит, значение 1 возможно.

Ответ: НОД($a; b$) может принимать значения 1 и 7.