Номер 15, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 15, страница 53.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Функция $y = \frac{k}{x}$ и её график

1. Дана функция $y = -\frac{42}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно 7;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 14.

2. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-7; 3)$.

3. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x - 1$ и запишите координаты точек их пересечения.

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{5}{|x|}$;

2) $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, \text{ если } x \le -1, \\ 3 - x, \text{ если } x > -1; \end{cases}$

3) $y = \frac{6x - 12}{x^2 - 2x}$.

5. Постройте график уравнения:

1) $(xy - 6)(x - 3) = 0$;

2) $\frac{xy - 6}{x - 3} = 0$.

Решение.

1. Дана функция $y = -\frac{42}{x}$.

1) Чтобы найти значение функции, если значение аргумента равно 7, нужно подставить $x = 7$ в уравнение функции:

$y = -\frac{42}{7} = -6$.

Ответ: -6.

2) Чтобы найти значение аргумента, при котором значение функции равно 14, нужно подставить $y = 14$ в уравнение функции и решить его относительно $x$:

$14 = -\frac{42}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$14x = -42$

$x = \frac{-42}{14}$

$x = -3$

Ответ: -3.

2.

График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-7; 3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -7$ и $y = 3$ в уравнение:

$3 = \frac{k}{-7}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на -7:

$k = 3 \cdot (-7) = -21$

Ответ: $k = -21$.

3.

Чтобы построить графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x - 1$ и найти точки их пересечения, сначала найдем координаты этих точек аналитически, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = x - 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{2}{x} = x - 1$

При условии, что $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$2 = x(x - 1)$

$2 = x^2 - x$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 - 1 = 1$. Первая точка пересечения: $(2, 1)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -1 - 1 = -2$. Вторая точка пересечения: $(-1, -2)$.

Для построения графика $y = \frac{2}{x}$ (гипербола) можно использовать точки $(-2, -1), (-1, -2), (1, 2), (2, 1)$.

Для построения графика $y = x - 1$ (прямая) можно использовать точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-1, -2)$.

4.

1) $y = \frac{5}{|x|}$

Область определения функции: все $x$, кроме $x=0$. Так как в знаменателе стоит модуль, а в числителе положительное число, $y$ всегда будет положительным. График функции симметричен относительно оси Oy.

Раскроем модуль:

- При $x > 0$, $|x| = x$, и функция имеет вид $y = \frac{5}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти.

- При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$. Это ветвь гиперболы во второй координатной четверти.

Таким образом, график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II четвертях.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы, симметричных относительно оси Oy и расположенных в верхней полуплоскости.

2) $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 3-x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

График этой кусочно-заданной функции состоит из двух частей.

- Для $x \le -1$ строим график $y = -\frac{4}{x}$. Это часть ветви гиперболы во второй четверти. Крайняя точка этого участка: при $x = -1$, $y = -\frac{4}{-1} = 4$. Точка $(-1, 4)$ принадлежит графику.

- Для $x > -1$ строим график $y = 3 - x$. Это луч. Найдем значение в начальной точке: при $x = -1$, $y = 3 - (-1) = 4$. Точка $(-1, 4)$ является началом луча. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=3$, $y=0$.

Так как обе части графика "стыкуются" в точке $(-1, 4)$, функция является непрерывной.

Ответ: График состоит из части гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ при $x \le -1$ и луча $y = 3-x$ при $x > -1$, соединенных в точке $(-1, 4)$.

3) $y = \frac{6x - 12}{x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции, исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x^2 - 2x \neq 0 \Rightarrow x(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Теперь упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{6(x - 2)}{x(x - 2)}$

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = \frac{6}{x}$

График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = \frac{6}{x}$, но с "выколотой" точкой при $x=2$. Найдем ординату этой точки:

$y = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, точка $(2, 3)$ не принадлежит графику.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(2, 3)$.

5.

1) $(xy - 6)(x - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два:

$xy - 6 = 0$ или $x - 3 = 0$.

- Уравнение $xy - 6 = 0$ равносильно $y = \frac{6}{x}$. Его график — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

- Уравнение $x - 3 = 0$ равносильно $x = 3$. Его график — вертикальная прямая, проходящая через точку $(3, 0)$.

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.

Ответ: График уравнения — это объединение гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и вертикальной прямой $x = 3$.

2) $\frac{xy - 6}{x - 3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} xy - 6 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = \frac{6}{x}$.

Из второго условия получаем $x \neq 3$.

Следовательно, график данного уравнения — это график функции $y = \frac{6}{x}$ с ограничением $x \neq 3$. Это гипербола, из которой удалена одна точка. Найдем координаты этой точки: при $x=3$, $y = \frac{6}{3} = 2$.

Точка $(3, 2)$ должна быть выколота.

Ответ: График уравнения является гиперболой $y = \frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, 2)$.