Номер 11, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 11, страница 51.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Рациональные уравнения

1. Равносильны ли уравнения:

1) $x^2 = -9$ и $\frac{8}{x} = 0$;

2) $x + 10 = 10 + x$ и $\frac{x - 5}{x - 5} = 1$;

3) $\frac{x^2 - 25}{x - 5} = 0$ и $x^2 - 25 = 0$;

4) $\frac{(x + 7)^2}{x - 4} = 0$ и $x + 7 = 0$?

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) $x + 4 = 0$ и $(x - 1)(x + 4) = 0$;

2) $\frac{x^2}{x + 7} = \frac{49}{x + 7}$ и $x^2 = 49$?

3. Решите уравнение:

1) $\frac{4x - 3}{x + 1} - \frac{6x - 5}{2x + 1} = 1$;

2) $\frac{x^2 + 33}{x^2 - 9} = \frac{8}{x + 3} - \frac{x + 4}{3 - x}$;

3) $\frac{6}{x^2 + x} - \frac{x - 6}{x^2 - x} + \frac{10}{x^2 - 1} = 0$.

Решение.

1. Равносильны ли уравнения:

1) Уравнение $x^2 = -9$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Множество его решений – пустое ($\emptyset$).
Уравнение $\frac{8}{x} = 0$ также не имеет корней, так как дробь равна нулю только когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Здесь числитель равен 8. Множество его решений – пустое ($\emptyset$).
Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2) Уравнение $x + 10 = 10 + x$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений – все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Уравнение $\frac{x-5}{x-5} = 1$ определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$. При всех $x \neq 5$ уравнение является верным равенством $1=1$. Множество его решений – все действительные числа, кроме $5$.
Так как множества решений уравнений не совпадают, они не являются равносильными.
Ответ: нет, не равносильны.

3) Решим первое уравнение $\frac{x^2 - 25}{x - 5} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Числитель: $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) = 0 \Rightarrow x = 5$ или $x = -5$.
Знаменатель: $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Следовательно, единственным решением первого уравнения является $x = -5$.
Решения второго уравнения $x^2 - 25 = 0$ – это $x = 5$ и $x = -5$.
Множества решений не совпадают, поэтому уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

4) Решим первое уравнение $\frac{(x+7)^2}{x-4} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Числитель: $(x+7)^2 = 0 \Rightarrow x+7 = 0 \Rightarrow x = -7$.
Знаменатель: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Корень $x = -7$ удовлетворяет условию $x \neq 4$.
Второе уравнение $x+7 = 0$ также имеет единственный корень $x = -7$.
Так как множества решений уравнений совпадают, они равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) Уравнение $x+4=0$ имеет единственный корень $x = -4$.
Уравнение $(x-1)(x+4)=0$ имеет два корня: $x = 1$ и $x = -4$.
Так как корень первого уравнения ($x=-4$) является также корнем второго уравнения, то второе уравнение является следствием первого.
Ответ: уравнение $(x-1)(x+4)=0$ является следствием уравнения $x+4=0$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2}{x+7} = \frac{49}{x+7}$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$.
На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2 = 49$, корни которого $x=7$ и $x=-7$.
Учитывая ОДЗ, корень $x=-7$ является посторонним. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=7$.
Уравнение $x^2=49$ имеет два корня: $x=7$ и $x=-7$.
Корень первого уравнения ($x=7$) является корнем второго уравнения. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: уравнение $x^2=49$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+7} = \frac{49}{x+7}$.

3. Решите уравнение:

1) $\frac{4x-3}{x+1} - \frac{6x-5}{2x+1} = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ и $2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0.5$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(2x+1)$:
$(4x-3)(2x+1) - (6x-5)(x+1) = (x+1)(2x+1)$
$8x^2 + 4x - 6x - 3 - (6x^2 + 6x - 5x - 5) = 2x^2 + 2x + x + 1$
$8x^2 - 2x - 3 - (6x^2 + x - 5) = 2x^2 + 3x + 1$
$8x^2 - 2x - 3 - 6x^2 - x + 5 = 2x^2 + 3x + 1$
$2x^2 - 3x + 2 = 2x^2 + 3x + 1$
$-3x - 3x = 1 - 2$
$-6x = -1$
$x = \frac{1}{6}$
Корень $x = \frac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) $\frac{x^2+33}{x^2-9} = \frac{8}{x+3} - \frac{x+4}{3-x}$
Преобразуем уравнение:
$\frac{x^2+33}{(x-3)(x+3)} = \frac{8}{x+3} + \frac{x+4}{x-3}$
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$:
$x^2+33 = 8(x-3) + (x+4)(x+3)$
$x^2+33 = 8x - 24 + x^2 + 3x + 4x + 12$
$x^2+33 = x^2 + 15x - 12$
$33 = 15x - 12$
$45 = 15x$
$x = 3$
Найденный корень $x=3$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Ответ: корней нет.

3) $\frac{6}{x^2+x} - \frac{x-6}{x^2-x} + \frac{10}{x^2-1} = 0$
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{6}{x(x+1)} - \frac{x-6}{x(x-1)} + \frac{10}{(x-1)(x+1)} = 0$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $x(x-1)(x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:
$6(x-1) - (x-6)(x+1) + 10x = 0$
$6x - 6 - (x^2 + x - 6x - 6) + 10x = 0$
$6x - 6 - (x^2 - 5x - 6) + 10x = 0$
$6x - 6 - x^2 + 5x + 6 + 10x = 0$
$-x^2 + 21x = 0$
$x(-x + 21) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 21$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Корень $x=21$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 21.