Номер 5, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 5, страница 47.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Рациональные дроби

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{c - 8}{c + 10}$

2) $\frac{7}{|x - 8|}$

3) $\frac{c}{c - 3} - \frac{6}{c + 4}$

4) $\frac{2}{2 + \frac{2}{x}}$

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме $-4$, $4$ и $7$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение дроби:

1) $\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18a + 81}$ положительное;

2) $\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1}$ неположительное.

4. Известно, что $5x + 20y = 3$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4}{3x + 12y}$

2) $\frac{9}{16y^2 + 8xy + x^2}$

Решение.

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) Выражение $\frac{c - 8}{c + 10}$ имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю.

Найдем значения переменной $c$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$c + 10 = 0$

$c = -10$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $c$, кроме $c = -10$.

Ответ: при $c \neq -10$.

2) Выражение $\frac{7}{|x| - 8}$ имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю.

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$|x| - 8 = 0$

$|x| = 8$

Это уравнение имеет два корня: $x = 8$ и $x = -8$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 8$ и $x = -8$.

Ответ: при $x \neq 8$ и $x \neq -8$.

3) Выражение $\frac{c}{c - 3} - \frac{6}{c + 4}$ представляет собой разность двух дробей. Оно имеет смысл, если знаменатель каждой из дробей не равен нулю.

1. $c - 3 \neq 0 \implies c \neq 3$

2. $c + 4 \neq 0 \implies c \neq -4$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $c$, кроме $c = 3$ и $c = -4$.

Ответ: при $c \neq 3$ и $c \neq -4$.

4) В выражении $\frac{2}{2 + \frac{2}{x}}$ есть два знаменателя, и ни один из них не должен быть равен нулю.

1. Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби: $2 + \frac{2}{x} \neq 0$.

Решим уравнение $2 + \frac{2}{x} = 0$:

$\frac{2}{x} = -2$

$x = \frac{2}{-2}$

$x = -1$

Таким образом, $x$ не должен быть равен $-1$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = -1$.

Ответ: при $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную x, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме -4, 4 и 7.

Чтобы дробь была не определена при $x = -4$, $x = 4$ и $x = 7$, эти значения должны быть корнями знаменателя. Значит, знаменатель должен обращаться в ноль в этих точках.

Составим знаменатель в виде произведения множителей:

$(x - (-4))(x - 4)(x - 7) = (x + 4)(x - 4)(x - 7)$

В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1.

Таким образом, одна из возможных дробей:

$\frac{1}{(x + 4)(x - 4)(x - 7)}$

Ответ: $\frac{1}{(x + 4)(x - 4)(x - 7)}$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной c значение дроби:

1) $\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81}$ положительное;

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $c^2 - 2c + 2$. Выделим полный квадрат:

$c^2 - 2c + 1 + 1 = (c - 1)^2 + 1$

Так как $(c - 1)^2 \geq 0$ для любого $c$, то $(c - 1)^2 + 1 \geq 1$. Следовательно, числитель всегда положителен.

Знаменатель: $c^2 + 18c + 81$. Это формула квадрата суммы:

$c^2 + 2 \cdot c \cdot 9 + 9^2 = (c + 9)^2$

Допустимыми значениями переменной являются все $c$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $c + 9 \neq 0 \implies c \neq -9$.

При всех допустимых значениях $c$, выражение $(c + 9)^2$ будет строго больше нуля ($ > 0 $).

Дробь является отношением положительного числа (числитель) к положительному числу (знаменатель), поэтому ее значение всегда будет положительным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) $\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1}$ неположительное.

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $10c - 25 - c^2$. Вынесем минус за скобки:

$-(c^2 - 10c + 25)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$-(c - 5)^2$

Так как $(c - 5)^2 \geq 0$ для любого $c$, то $-(c - 5)^2 \leq 0$. Следовательно, числитель всегда неположителен (меньше или равен нулю).

Знаменатель: $c^8 + 1$.

Так как $c^8 = (c^4)^2 \geq 0$ для любого $c$, то $c^8 + 1 \geq 1$. Следовательно, знаменатель всегда положителен. Он никогда не равен нулю, поэтому допустимыми являются все значения $c$.

Дробь является отношением неположительного числа (числитель) к положительному числу (знаменатель), поэтому ее значение всегда будет неположительным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4. Известно, что $5x + 20y = 3$. Найдите значение выражения:

Сначала упростим данное равенство. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5(x + 4y) = 3$

Отсюда находим значение выражения $x + 4y$:

$x + 4y = \frac{3}{5}$

1) $\frac{4}{3x + 12y}$

Преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель 3:

$3x + 12y = 3(x + 4y)$

Подставим найденное значение $x + 4y = \frac{3}{5}$ в знаменатель:

$3 \cdot (\frac{3}{5}) = \frac{9}{5}$

Теперь найдем значение всего выражения:

$\frac{4}{\frac{9}{5}} = 4 \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{9}$

Ответ: $\frac{20}{9}$.

2) $\frac{9}{16y^2 + 8xy + x^2}$

Знаменатель $16y^2 + 8xy + x^2$ является полным квадратом суммы. Перепишем его в стандартном виде:

$x^2 + 8xy + 16y^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x + 4y)^2$

Подставим найденное значение $x + 4y = \frac{3}{5}$ в знаменатель:

$(x + 4y)^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Теперь найдем значение всего выражения:

$\frac{9}{\frac{9}{25}} = 9 \cdot \frac{25}{9} = 25$

Ответ: 25.