Номер 40, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 40, страница 44.

Условие.

Самостоятельная работа № 40

Деление многочленов

1. Докажите, что многочлен $x^3 - 2x^2 - 2x + 3$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 3$.

2. Докажите, что многочлен $x^3 - x - 7$ не делится нацело на многочлен $x - 2$.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби $\frac{2x^4 - 4x^3 + x^2 - 5x - 7}{x^2 + x + 2}$.

Решение.

1. Докажите, что многочлен $x^3 - 2x^2 - 2x + 3$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 3$.

Чтобы доказать, что один многочлен делится на другой нацело, необходимо выполнить деление и убедиться, что остаток равен нулю. Выполним деление многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + 3$ на $D(x) = x^2 - x - 3$ "в столбик".

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти первый член частного:
$x^3 / x^2 = x$.

Шаг 2: Умножаем делитель на полученный член частного:
$x \cdot (x^2 - x - 3) = x^3 - x^2 - 3x$.

Шаг 3: Вычитаем результат из делимого:
$(x^3 - 2x^2 - 2x + 3) - (x^3 - x^2 - 3x) = -x^2 + x + 3$.

Шаг 4: Делим старший член нового делимого ($-x^2$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти второй член частного:
$-x^2 / x^2 = -1$.

Шаг 5: Умножаем делитель на второй член частного:
$-1 \cdot (x^2 - x - 3) = -x^2 + x + 3$.

Шаг 6: Вычитаем результат из нового делимого:
$(-x^2 + x + 3) - (-x^2 + x + 3) = 0$.

Остаток от деления равен 0. Это означает, что многочлен $x^3 - 2x^2 - 2x + 3$ делится на $x^2 - x - 3$ нацело. Частное при этом равно $x - 1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как остаток от деления равен 0.

2. Докажите, что многочлен $x^3 - x - 7$ не делится нацело на многочлен $x - 2$.

Для доказательства воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

В данном случае многочлен $P(x) = x^3 - x - 7$, а делитель имеет вид $x - a$, где $a = 2$.

Чтобы многочлен $P(x)$ делился на $x - 2$ нацело, остаток от деления должен быть равен нулю, то есть $P(2)$ должно быть равно 0.

Найдем значение $P(2)$:

$P(2) = (2)^3 - (2) - 7 = 8 - 2 - 7 = -1$.

Остаток от деления равен -1, а не 0. Следовательно, многочлен $x^3 - x - 7$ не делится нацело на многочлен $x - 2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как остаток от деления равен -1, что не равно 0.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби $\frac{2x^4 - 4x^3 + x^2 - 5x - 7}{x^2 + x + 2}$.

Чтобы выделить целую часть, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Частное от деления будет являться целой частью.

Шаг 1: Делим $2x^4$ на $x^2$, получаем $2x^2$.
Умножаем $2x^2$ на делитель $(x^2 + x + 2)$: $2x^2(x^2 + x + 2) = 2x^4 + 2x^3 + 4x^2$.
Вычитаем из делимого: $(2x^4 - 4x^3 + x^2 - 5x - 7) - (2x^4 + 2x^3 + 4x^2) = -6x^3 - 3x^2 - 5x - 7$.

Шаг 2: Делим $-6x^3$ на $x^2$, получаем $-6x$.
Умножаем $-6x$ на делитель: $-6x(x^2 + x + 2) = -6x^3 - 6x^2 - 12x$.
Вычитаем из результата предыдущего шага: $(-6x^3 - 3x^2 - 5x - 7) - (-6x^3 - 6x^2 - 12x) = 3x^2 + 7x - 7$.

Шаг 3: Делим $3x^2$ на $x^2$, получаем $3$.
Умножаем $3$ на делитель: $3(x^2 + x + 2) = 3x^2 + 3x + 6$.
Вычитаем из результата предыдущего шага: $(3x^2 + 7x - 7) - (3x^2 + 3x + 6) = 4x - 13$.

Степень многочлена в остатке ($4x - 13$) меньше степени многочлена в делителе ($x^2 + x + 2$), поэтому деление завершено.

В результате деления мы получили частное (целую часть) $2x^2 - 6x + 3$ и остаток $4x - 13$.

Таким образом, исходную дробь можно представить в виде:
$\frac{2x^4 - 4x^3 + x^2 - 5x - 7}{x^2 + x + 2} = 2x^2 - 6x + 3 + \frac{4x - 13}{x^2 + x + 2}$

Ответ: Целая часть рациональной дроби равна $2x^2 - 6x + 3$.