Номер 34, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 34, страница 42.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Формула корней квадратного уравнения

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x - 24 = 0$

2) $2x^2 - 4x - 17 = 0$

3) $x^2 - 10x + 37 = 0$

2. Найдите три последовательных чётных натуральных числа, если квадрат второго из них на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 5x - 3| = 3$

2) $x|x| + 7x - 6 = 0$

3) $x^2 - 3x + \frac{4}{x-2} = \frac{4}{x-2} - 2$

4) $(\sqrt{x} - 4)(12x^2 + 17x - 5) = 0$

4. При каких значениях параметра $m$ имеет единственный корень уравнение:

1) $12x^2 + mx + 3 = 0$

2) $(m - 2)x^2 - (2m - 4)x + 12 = 0$

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1, b=2, c=-24$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -6$.

2) $2x^2 - 4x - 17 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=2, b=-4, c=-17$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 16 + 136 = 152$.

$\sqrt{D} = \sqrt{152} = \sqrt{4 \cdot 38} = 2\sqrt{38}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{38}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{38}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{38})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{38}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{38}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{38}}{2}$.

3) $x^2 - 10x + 37 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1, b=-10, c=37$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 100 - 148 = -48$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2. Найдите три последовательных чётных натуральных числа, если квадрат второго из них на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел.

Пусть три последовательных чётных натуральных числа это $2n, 2n+2, 2n+4$, где $n$ - натуральное число.

По условию, квадрат второго числа на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего:

$(2n+2)^2 = 2 \cdot (2n) \cdot (2n+4) - 56$.

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4n^2 + 8n + 4 = 2(4n^2 + 8n) - 56$

$4n^2 + 8n + 4 = 8n^2 + 16n - 56$

$4n^2 + 8n - 60 = 0$

Разделим обе части на 4:

$n^2 + 2n - 15 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $n_1 = 3$ и $n_2 = -5$.

Так как числа натуральные, $2n > 0$, следовательно $n$ должно быть натуральным числом. Поэтому корень $n_2 = -5$ не подходит.

Единственное подходящее значение $n=3$.

Найдем искомые числа:

Первое число: $2n = 2 \cdot 3 = 6$.

Второе число: $2n+2 = 6+2 = 8$.

Третье число: $2n+4 = 6+4 = 10$.

Проверка: $8^2 = 64$. $2 \cdot 6 \cdot 10 - 56 = 120 - 56 = 64$. Условие выполняется.

Ответ: 6, 8, 10.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 5x - 3| = 3$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $x^2 + 5x - 3 = 3$

$x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -6$.

б) $x^2 + 5x - 3 = -3$

$x^2 + 5x = 0 \implies x(x+5) = 0$. Отсюда $x_3 = 0, x_4 = -5$.

Объединяя решения, получаем четыре корня.

Ответ: $\{-6, -5, 0, 1\}$.

2) $x|x| + 7x - 6 = 0$

Рассмотрим два случая:

а) При $x \ge 0$, $|x|=x$. Уравнение принимает вид: $x^2 + 7x - 6 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73$.

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2}$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}$. Так как $\sqrt{73} \approx 8.5 > 7$, то $x_1 > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{2} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

б) При $x < 0$, $|x|=-x$. Уравнение принимает вид: $-x^2 + 7x - 6 = 0$ или $x^2 - 7x + 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_3 = 1, x_4 = 6$. Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{73}-7}{2}$.

3) $x^2 - 3x + \frac{4}{x-2} = \frac{4}{x-2} - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.

Упростим уравнение, сократив одинаковые слагаемые в обеих частях:

$x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2=2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=1$.

4) $(\sqrt{x}-4)(12x^2 + 17x - 5) = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

а) $\sqrt{x} - 4 = 0 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

б) $12x^2 + 17x - 5 = 0$.

$D = 17^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.

$x = \frac{-17 \pm 23}{2 \cdot 12} = \frac{-17 \pm 23}{24}$.

$x_1 = \frac{-17 + 23}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = \frac{-17 - 23}{24} = \frac{-40}{24} = -\frac{5}{3}$. Корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Объединяем подходящие корни.

Ответ: $\{16, \frac{1}{4}\}$.

4. При каких значениях параметра m имеет единственный корень уравнение:

1) $12x^2 + mx + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 12 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D=0$).

$D = m^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3 = m^2 - 144$.

$m^2 - 144 = 0 \implies m^2 = 144 \implies m = \pm 12$.

Ответ: $m = 12, m = -12$.

2) $(m-2)x^2 - (2m-4)x + 12 = 0$

Уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

а) Уравнение является квадратным ($m-2 \ne 0$) и его дискриминант равен нулю.

$a = m-2, b = -(2m-4) = -2(m-2), c=12$.

$D = b^2 - 4ac = (-2(m-2))^2 - 4(m-2)(12) = 4(m-2)^2 - 48(m-2)$.

Приравняем дискриминант к нулю: $4(m-2)^2 - 48(m-2) = 0 \implies 4(m-2)(m-2-12) = 0 \implies 4(m-2)(m-14) = 0$.

Возможные значения $m=2$ или $m=14$. Но так как мы рассматриваем случай $m \ne 2$, подходит только $m=14$.

б) Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $m-2=0 \implies m=2$.

Подставим $m=2$ в исходное уравнение: $(2-2)x^2 - (2 \cdot 2 - 4)x + 12 = 0 \implies 0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 12 = 0 \implies 12 = 0$.

Получено неверное равенство, значит при $m=2$ уравнение не имеет корней.

Объединяя результаты, получаем, что единственный корень существует только при $m=14$.

Ответ: $m=14$.