Номер 28, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 28, страница 39.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Множество действительных чисел

1. Верно ли утверждение:

1) $-3,8 \notin N$;

2) $\sqrt{5} \in Q$;

3) $\sqrt{5} \notin R$;

4) $\sqrt{36} \in N$?

2. Сравните числа:

1) $\frac{1}{3}$ и 0,33;

2) 6,(39) и 6,39;

3) -1,(18) и -1,18;

4) 5,19... и 5,18...

3. Найдите все рациональные числа $m$ и $n$ такие, что

$(\sqrt{7}-2)^2 = m + n\sqrt{7}$.

4. Докажите, что число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

Решение.

1. Верно ли утверждение:

1) -3,8 ∉ N

Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число -3,8 является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

2) √5 ∈ Q

Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число $\sqrt{5}$ является иррациональным, так как 5 не является полным квадратом целого числа. Иррациональные числа не принадлежат множеству рациональных чисел. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3) √5 ∉ R

Множество действительных чисел $R$ объединяет в себе рациональные и иррациональные числа. Поскольку $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, оно также является и действительным числом. Утверждение, что $\sqrt{5}$ не принадлежит множеству действительных чисел, неверно.

Ответ: неверно.

4) √36 ∈ N?

Вычислим значение корня: $\sqrt{36} = 6$. Число 6 является целым и положительным, следовательно, оно принадлежит множеству натуральных чисел $N$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

2. Сравните числа:

1) $\frac{1}{3}$ и 0,33

Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{3} = 0,3333... = 0,(3)$. Сравним $0,(3)$ и $0,33$. Первые две цифры после запятой у чисел совпадают. Третья цифра у $0,(3)$ равна 3, а у $0,33$ (что равно $0,330$) равна 0. Так как $3 > 0$, то $0,(3) > 0,33$. Следовательно, $\frac{1}{3} > 0,33$.

Ответ: $\frac{1}{3} > 0,33$.

2) 6,(39) и 6,39

Число $6,(39)$ — это периодическая дробь $6,393939...$. Число $6,39$ можно записать как $6,390000...$. Сравнивая цифры после запятой, видим, что первые две ($3$ и $9$) совпадают. Третья цифра у $6,(39)$ равна 3, а у $6,39$ равна 0. Так как $3 > 0$, то $6,(39) > 6,39$.

Ответ: $6,(39) > 6,39$.

3) -1,(18) и -1,18

Сначала сравним положительные числа $1,(18)$ и $1,18$. Число $1,(18)$ — это периодическая дробь $1,181818...$. Число $1,18$ — это $1,180000...$. Так как третья цифра после запятой у первого числа (1) больше, чем у второго (0), то $1,(18) > 1,18$. При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно, $-1,(18) < -1,18$.

Ответ: $-1,(18) < -1,18$.

4) 5,19... и 5,18...

Целые части чисел равны (5). Первая цифра после запятой также равна (1). Вторая цифра после запятой у первого числа — 9, а у второго — 8. Так как $9 > 8$, то первое число больше второго, независимо от последующих цифр. $5,19... > 5,18...$.

Ответ: $5,19... > 5,18...$.

3. Найдите все рациональные числа $m$ и $n$ такие, что $(\sqrt{7} - 2)^2 = m + n\sqrt{7}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{7} - 2)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части уравнения:

$11 - 4\sqrt{7} = m + n\sqrt{7}$.

Поскольку $m$ и $n$ — рациональные числа, а $\sqrt{7}$ — иррациональное, равенство возможно только в том случае, если равны рациональные и иррациональные части обоих выражений. Приравниваем рациональные части: $m = 11$. Приравниваем коэффициенты при иррациональной части ($\sqrt{7}$): $n = -4$. Оба найденных значения являются рациональными числами.

Ответ: $m = 11, n = -4$.

4. Докажите, что число √5 является иррациональным.

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что $\sqrt{5}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число, и они взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).

Из равенства $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ после возведения в квадрат получаем $5 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда $p^2 = 5q^2$.

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 5. Если квадрат целого числа делится на простое число 5, то и само число $p$ должно делиться на 5. Значит, $p$ можно представить в виде $p = 5k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим $p = 5k$ в уравнение $p^2 = 5q^2$: $(5k)^2 = 5q^2$, или $25k^2 = 5q^2$. Разделив обе части на 5, получим $q^2 = 5k^2$.

Из последнего равенства следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и само число $q$ делится на 5.

Получается, что и $p$, и $q$ делятся на 5. Это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{5}$ является рациональным числом, неверно. Таким образом, число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

Ответ: Что и требовалось доказать.