Номер 24, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 24, страница 37.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной

1. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 4x - 3 \ge x + 6, \\ 5x + 1 \ge 6x - 11; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,4(x - 2) \le 0,6x + 1, \\ 5x + 3 > 4(x + 1,25); \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{2x - 1}{4} - \frac{4 - x}{2} > \frac{3}{4}, \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3} + \frac{1}{2}; \end{cases} $

2. Решите совокупность неравенств:

1) $ \left[ \begin{array}{l} 3 \le x \le 8, \\ x > 8; \end{array} \right. $

2) $ \left[ \begin{array}{l} x < 8, \\ x \ge 3. \end{array} \right. $

3. Сколько целых решений имеет неравенство $-4 \le 2x - 5 \le 6$?

4. Решите систему неравенств

$ \begin{cases} -12 < x < 6, \\ \left[ \begin{array}{l} x \ge 1, \\ x > 10. \end{array} \right. \end{cases} $

5. Решите неравенство:

1) $(x + 2)^2 (x - 3) \ge 0;$

2) $|x + 2| (x - 3) < 0.$

6. При каких значениях параметра a множество решений

системы неравенств

$ \begin{cases} 3x - 2 > 0, \\ 2x - a \le 3 \end{cases} $

содержит четыре целых числа?

Решение.

1. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 4x - 3 \ge x + 6, \\ 5x + 1 > 6x - 11; \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$4x - 3 \ge x + 6$

$4x - x \ge 6 + 3$

$3x \ge 9$

$x \ge 3$

Второе неравенство:

$5x + 1 > 6x - 11$

$1 + 11 > 6x - 5x$

$12 > x$, или $x < 12$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это будет интервал, где $x$ одновременно больше или равен 3 и меньше 12.

Получаем: $3 \le x < 12$.

Ответ: $x \in [3; 12)$.

2) $ \begin{cases} 0,4(x - 2) \le 0,6x + 1, \\ 5x + 3 > 4(x + 1,25); \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$0,4(x - 2) \le 0,6x + 1$

$0,4x - 0,8 \le 0,6x + 1$

$-0,8 - 1 \le 0,6x - 0,4x$

$-1,8 \le 0,2x$

$x \ge \frac{-1,8}{0,2}$

$x \ge -9$

Второе неравенство:

$5x + 3 > 4(x + 1,25)$

$5x + 3 > 4x + 5$

$5x - 4x > 5 - 3$

$x > 2$

Найдем пересечение решений: $x \ge -9$ и $x > 2$. Общим решением будет более сильное неравенство.

Получаем: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $ \begin{cases} \frac{2x - 1}{4} - \frac{4 - x}{2} > \frac{3}{4}, \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3} + \frac{1}{2}; \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$(2x - 1) - 2(4 - x) > 3$

$2x - 1 - 8 + 2x > 3$

$4x - 9 > 3$

$4x > 12$

$x > 3$

Второе неравенство. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$3(x - 1) < 2(2 - x) + 3 \cdot 1$

$3x - 3 < 4 - 2x + 3$

$3x - 3 < 7 - 2x$

$3x + 2x < 7 + 3$

$5x < 10$

$x < 2$

Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x < 2$. Эти два условия не могут выполняться одновременно, так как нет чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 2.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

2. Решите совокупность неравенств:

1) $ \begin{bmatrix} 3 \le x \le 8, \\ x > 8; \end{bmatrix} $

Совокупность неравенств означает, что решением является объединение множеств решений каждого неравенства. Первое неравенство задает отрезок $[3; 8]$. Второе неравенство задает интервал $(8; +\infty)$.

Объединяя эти два множества, мы получаем все числа от 3, включая 3, и до бесконечности.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

2) $ \begin{bmatrix} x < 8, \\ x \ge 3; \end{bmatrix} $

Первое неравенство задает интервал $(-\infty; 8)$. Второе неравенство задает луч $[3; +\infty)$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую. Любое действительное число либо меньше 8, либо больше или равно 3.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ или $x$ - любое действительное число.

3. Сколько целых решений имеет неравенство $-4 \le 2x - 5 \le 6$?

Решим это двойное неравенство относительно $x$.

Прибавим 5 ко всем трем частям неравенства:

$-4 + 5 \le 2x - 5 + 5 \le 6 + 5$

$1 \le 2x \le 11$

Разделим все три части на 2:

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{11}{2}$

$0,5 \le x \le 5,5$

Теперь перечислим все целые числа, которые находятся в этом промежутке. Это 1, 2, 3, 4, 5.

Всего таких чисел 5.

Ответ: 5.

4. Решите систему неравенств $ \begin{cases} -12 < x < 6, \\ \begin{bmatrix} x \ge 1, \\ x > 10. \end{bmatrix} \end{cases} $

Сначала решим внутреннюю совокупность: $ \begin{bmatrix} x \ge 1, \\ x > 10. \end{bmatrix} $

Решением совокупности является объединение решений. Объединение множеств $x \ge 1$ и $x > 10$ дает множество $x \ge 1$.

Теперь система принимает вид:

$ \begin{cases} -12 < x < 6, \\ x \ge 1. \end{cases} $

Решением системы является пересечение решений. Нам нужно найти числа, которые одновременно находятся в интервале $(-12; 6)$ и больше или равны 1.

Пересечением этих множеств является полуинтервал $[1; 6)$.

Ответ: $x \in [1; 6)$.

5. Решите неравенство:

1) $(x + 2)^2(x - 3) \ge 0$

Используем метод интервалов. Найдем корни левой части неравенства: $(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (корень кратности 2), и $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен ( $\ge 0$ ) при любом $x$. Он равен нулю при $x=-2$.

Поэтому знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x-3)$.

Неравенство $(x + 2)^2(x - 3) \ge 0$ будет выполняться в двух случаях:

1. Когда $(x - 3) \ge 0$, то есть $x \ge 3$. В этом случае произведение неотрицательно.

2. Когда $(x + 2)^2 = 0$, то есть $x = -2$. В этом случае все выражение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\ge$.

Объединяя эти два случая, получаем решение.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3; +\infty)$.

2) $|x + 2|(x - 3) < 0$

Множитель $|x + 2|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x + 2| \ge 0$.

Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы один множитель был положителен, а другой отрицателен.

Так как $|x + 2|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положителен, а множитель $(x-3)$ должен быть строго отрицателен.

$|x + 2| > 0 \Rightarrow x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$

$x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть меньше 3, но не равен -2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 3)$.

6. При каких значениях параметра $a$ множество решений системы неравенств $ \begin{cases} 3x - 2 > 0, \\ 2x - a < 3 \end{cases} $ содержит четыре целых числа?

Решим систему неравенств относительно $x$.

Первое неравенство:

$3x - 2 > 0$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Второе неравенство:

$2x - a < 3$

$2x < a + 3$

$x < \frac{a + 3}{2}$

Решением системы является интервал $(\frac{2}{3}; \frac{a+3}{2})$.

Нам нужно, чтобы этот интервал содержал ровно четыре целых числа. Целые числа, большие $\frac{2}{3}$, начинаются с 1. Это числа: 1, 2, 3, 4.

Таким образом, интервал $(\frac{2}{3}; \frac{a+3}{2})$ должен включать в себя числа 1, 2, 3, 4, но не должен включать число 5.

Это означает, что правая граница интервала $\frac{a+3}{2}$ должна быть больше 4 (чтобы число 4 попало в интервал) и меньше или равна 5 (чтобы число 5 не попало в интервал).

Получаем двойное неравенство для правой границы:

$4 < \frac{a + 3}{2} \le 5$

Умножим все части на 2:

$8 < a + 3 \le 10$

Вычтем 3 из всех частей:

$8 - 3 < a \le 10 - 3$

$5 < a \le 7$

Таким образом, параметр $a$ должен находиться в полуинтервале $(5; 7]$.

Ответ: $a \in (5; 7]$.