Номер 26, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 26, страница 38.

Условие.

Самостоятельная работа № 26

Функция $y = x^2$ и её график

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 4x - 3$;

2) $x^2 - 2x + 4 = 0$.

2. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} y = x^2 \\ y - 3x - 6 = 0 \end{cases}$

3. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x+2, & \text{если } x \le 2 \\ x^2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$;

2) $y = \frac{x^3 + 4x^2}{x+4}$.

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(x - 1) = 0$;

2) $(y - x^2)^2 + (x - 1)^2 = 0$.

Решение.

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 4x - 3$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 4x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх. Построим ее по точкам: (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9).

2. График функции $y = 4x - 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:
- при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 3 = 1$. Точка (1, 1).
- при $x = 3$, $y = 4 \cdot 3 - 3 = 9$. Точка (3, 9).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках: (1, 1) и (3, 9). Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

2) $x^2 - 2x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = 2x - 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 2x - 4$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола, описанная в предыдущем пункте.

2. График функции $y = 2x - 4$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
- при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 4 = 0$. Точка (2, 0).

Построив графики, мы видим, что парабола $y = x^2$ и прямая $y = 2x - 4$ не имеют общих точек (не пересекаются). Вершина параболы находится в точке (0,0), а вся парабола лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), в то время как прямая $y=2x-4$ проходит значительно ниже. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: решений нет.

2. Определите графически количество решений системы уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2, \\ y - 3x - 6 = 0 \end{cases} $

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков этих уравнений. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 3x + 6$. Теперь нам нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 3x + 6$.

1. График $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке (0,0).

2. График $y = 3x + 6$ — прямая. Найдем точки ее пересечения с осями координат:
- при $x = 0$, $y = 6$. Точка (0, 6).
- при $y = 0$, $3x + 6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$. Точка (-2, 0).

Построим эскизы графиков. Парабола $y=x^2$ проходит через начало координат. Прямая $y=3x+6$ пересекает ось OY в точке (0,6) и ось OX в точке (-2,0). Видно, что прямая пересекает параболу в двух точках: одна в левой полуплоскости (где $x < 0$) и одна в правой (где $x > 0$).

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

3. Постройте график функции:

1) $ y = \begin{cases} x+2, & \text{если } x \le 2 \\ x^2, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Данная функция является кусочно-заданной. Ее график состоит из двух частей.

1. На промежутке $(-\infty, 2]$ строим график функции $y = x+2$. Это прямая. Найдем координаты двух точек на этом промежутке:
- при $x = 0$, $y = 2$. Точка (0, 2).
- на границе промежутка, при $x = 2$, $y = 2+2=4$. Точка (2, 4). В этой точке будет сплошной кружок, так как неравенство нестрогое ($x \le 2$).
Графиком является луч, выходящий из точки (2, 4) и идущий влево-вниз.

2. На промежутке $(2, +\infty)$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы.
- найдем значение на границе: при $x=2$, $y = 2^2=4$. Точка (2, 4). В этой точке был бы выколотый кружок, но так как она уже включена в первую часть графика, то точка остается сплошной.
- при $x = 3$, $y = 3^2=9$. Точка (3, 9).
Графиком является часть параболы, начинающаяся в точке (2, 4) и идущая вправо-вверх.

Итоговый график состоит из луча прямой $y=x+2$ до точки (2, 4) включительно и ветви параболы $y=x^2$ от точки (2, 4).

Ответ: График построен.

2) $y = \frac{x^3 + 4x^2}{x+4}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Упростим выражение для функции, вынеся в числителе общий множитель $x^2$ за скобки:
$y = \frac{x^2(x+4)}{x+4}$

Так как $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$. Получаем:
$y = x^2$, при $x \neq -4$.

Таким образом, график данной функции — это парабола $y = x^2$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна -4. Найдем ординату этой точки, подставив $x=-4$ в упрощенную функцию:
$y = (-4)^2 = 16$.

Следовательно, график функции $y = \frac{x^3 + 4x^2}{x+4}$ — это парабола $y=x^2$ с выколотой точкой (-4, 16).

Ответ: График построен.

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(x - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$y - x^2 = 0$ или $x - 1 = 0$.

Это означает, что график исходного уравнения представляет собой объединение графиков уравнений $y = x^2$ и $x = 1$.
1. $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат.
2. $x = 1$ — это вертикальная прямая, проходящая через точку (1, 0) параллельно оси OY.

Таким образом, искомый график — это парабола $y=x^2$ и вертикальная прямая $x=1$, построенные в одной системе координат.

Ответ: График построен.

2) $(y - x^2)^2 + (x - 1)^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(y - x^2)^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} (y - x^2)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases} $
которая, в свою очередь, равносильна системе:
$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения находим $x=1$. Подставляем это значение в первое уравнение:
$y - 1^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$.

Система имеет единственное решение: $(1, 1)$.
Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами (1, 1).

Ответ: График построен (является точкой (1, 1)).