Номер 20, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 20, страница 34.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Простые и составные числа

1. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n + 9$ являются простыми.

2. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $n^2 - 2n - 3$ является простым числом.

3. Укажите все нечётные значения $n$, при которых значение выражения $10^n + 1$ является составным числом.

4. Натуральное число $n$ таково, что числа $n + 4$ и $n - 21$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите число $p$.

Решение.

1. Пусть $n$ и $n+9$ - простые числа. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.
1) Если $n$ - четное число. Единственное четное простое число - это 2. Пусть $n=2$. Тогда $n+9 = 2+9 = 11$. Число 11 также является простым. Следовательно, $n=2$ является решением.
2) Если $n$ - нечетное число. Любое нечетное простое число больше или равно 3. Если $n$ - нечетное, то $n+9$ будет суммой двух нечетных чисел (нечетное + нечетное = четное). Таким образом, $n+9$ - четное число. Так как $n \ge 3$, то $n+9 \ge 3+9 = 12$. Любое четное число, большее 2, является составным. Значит, при нечетном простом $n$, число $n+9$ будет составным.
Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором оба числа являются простыми, это $n=2$.
Ответ: 2.

2. Нам нужно найти все натуральные $n$, при которых выражение $n^2 - 2n - 3$ является простым числом. Сначала разложим данное квадратное выражение на множители. Найдем корни уравнения $n^2 - 2n - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1=3$ и $n_2=-1$.
Таким образом, $n^2 - 2n - 3 = (n-3)(n+1)$.
Это выражение должно быть простым числом, обозначим его $p$. То есть, $(n-3)(n+1) = p$.
По определению, простое число $p$ имеет только два натуральных делителя: 1 и само $p$.
Поскольку $n$ - натуральное число, $n \ge 1$. Тогда $n+1 \ge 1+1=2$.
Так как $n+1$ является делителем числа $p$ и $n+1>1$, то для того, чтобы произведение было простым, меньший множитель должен быть равен 1.
Следовательно, $n-3=1$, откуда находим $n=4$.
Если $n=4$, то второй множитель $n+1 = 4+1=5$.
Проверим значение выражения при $n=4$: $(4-3)(4+1) = 1 \cdot 5 = 5$. Число 5 является простым. Значит, $n=4$ - единственное решение.
Ответ: 4.

3. Нам нужно найти все нечетные значения $n$, при которых выражение $10^n + 1$ является составным числом. Воспользуемся формулой суммы степеней для нечетного показателя $n$: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
Применим эту формулу к нашему выражению, представив его как $10^n + 1^n$ (здесь $a=10$, $b=1$).
$10^n + 1 = (10+1)(10^{n-1} - 10^{n-2} + 10^{n-3} - \dots - 10 + 1)$.
$10^n + 1 = 11 \cdot (10^{n-1} - 10^{n-2} + \dots + 1)$.
Это разложение показывает, что число $10^n+1$ делится на 11 при любом нечетном $n$.
Число является составным, если оно имеет делитель, отличный от 1 и самого себя. Мы нашли делитель 11.
Рассмотрим случай, когда само число может быть равно 11. $10^n + 1 = 11 \implies 10^n = 10 \implies n=1$.
При $n=1$ (это нечетное число) выражение равно $10^1+1 = 11$. Число 11 является простым, а не составным. При любом другом нечетном $n > 1$ (например, $n=3, 5, 7, \dots$), число $10^n+1$ будет больше 11. Например, при $n=3$, $10^3+1 = 1001$. $1001 = 11 \cdot 91$. Так как $1 < 11 < 1001$, число 1001 является составным.
В общем случае, для нечетного $n>1$, второй множитель $(10^{n-1} - 10^{n-2} + \dots + 1)$ будет больше 1. Следовательно, для всех нечетных натуральных $n$, кроме $n=1$, выражение $10^n+1$ является составным числом.
Ответ: все нечетные натуральные числа, кроме 1.

4. По условию, числа $n+4$ и $n-21$ делятся нацело на простое число $p$.
Это означает, что $p$ является общим делителем чисел $n+4$ и $n-21$.
Если число делит два других числа, то оно также делит их разность. Найдем разность этих двух чисел:
$(n+4) - (n-21) = n + 4 - n + 21 = 25$.
Следовательно, простое число $p$ должно быть делителем числа 25.
Разложим 25 на простые множители: $25 = 5^2$.
Единственным простым делителем числа 25 является число 5.
Значит, $p=5$.
Проверим, что такой случай возможен. Если $p=5$, то $n+4$ должно делиться на 5, то есть $n+4=5k$. Отсюда $n \equiv -4 \pmod{5}$ или $n \equiv 1 \pmod{5}$. Также $n-21$ должно делиться на 5, то есть $n-21=5m$. Отсюда $n \equiv 21 \pmod{5}$ или $n \equiv 1 \pmod{5}$. Условия не противоречат друг другу и выполняются для любого натурального $n$, дающего остаток 1 при делении на 5 (например, $n=6, 11, \dots$).
Таким образом, искомое простое число $p$ равно 5.
Ответ: 5.