Номер 19, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 19, страница 34.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Признаки делимости

1. Делится ли нацело число 81 675 на число: 1) 3; 2) 11; 3) 25?

2. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число *71* делилось нацело на 99.

3. Может ли натуральное число, запись которого состоит из цифр 2, 4, 6, 9 (каждая из цифр используется один раз), быть квадратом натурального числа?

4. Решите уравнение $n = S(n) + 236$.

Решение.

1.
1) 3: Для проверки делимости числа на 3 используется признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Найдем сумму цифр числа 81 675:
$8 + 1 + 6 + 7 + 5 = 27$
Так как 27 делится на 3 ($27 : 3 = 9$), то и число 81 675 делится на 3.

2) 11: Для проверки делимости числа на 11 используется признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11.
Найдем знакопеременную сумму цифр числа 81 675, начиная с последней цифры со знаком "плюс":
$5 - 7 + 6 - 1 + 8 = 11$
Так как 11 делится на 11 ($11 : 11 = 1$), то и число 81 675 делится на 11.

3) 25: Для проверки делимости числа на 25 используется признак делимости на 25: число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25.
Последние две цифры числа 81 675 образуют число 75.
Так как 75 делится на 25 ($75 : 25 = 3$), то и число 81 675 делится на 25.

Ответ: Да, число 81 675 делится нацело на 3, на 11 и на 25.

2. Чтобы число делилось нацело на 99, оно должно одновременно делиться на 9 и на 11, так как $99 = 9 \times 11$ и числа 9 и 11 взаимно простые.
Обозначим искомое число как $\overline{a71b}$, где $a$ и $b$ — неизвестные цифры, причем $a \ne 0$.
1. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.
$a + 7 + 1 + b$ должно делиться на 9, то есть $a + b + 8$ должно быть кратно 9.
Так как $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9, то $1 \le a+b \le 18$. Тогда $9 \le a+b+8 \le 26$. В этом диапазоне кратными 9 являются числа 9 и 18.
Следовательно, либо $a + b + 8 = 9$ (что дает $a + b = 1$), либо $a + b + 8 = 18$ (что дает $a + b = 10$).
2. Признак делимости на 11: знакопеременная сумма цифр должна делиться на 11.
$b - 1 + 7 - a$ должно делиться на 11, то есть $b - a + 6$ должно быть кратно 11.
Так как $-9 \le b-a \le 8$, то $-3 \le b-a+6 \le 14$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 11, — это 0.
Следовательно, $b - a + 6 = 0$, откуда $a - b = 6$.

Теперь решим систему уравнений. У нас есть условие $a - b = 6$ и два возможных случая для суммы:
- Случай 1: $a - b = 6$ и $a + b = 1$. Сложив уравнения, получим $2a = 7$, то есть $a = 3.5$. Это не целая цифра, так что этот случай не подходит.
- Случай 2: $a - b = 6$ и $a + b = 10$. Сложив уравнения, получим $2a = 16$, то есть $a = 8$. Подставив $a=8$ в любое из уравнений, найдем $b = 2$.
Полученные цифры $a=8$ и $b=2$ удовлетворяют всем условиям. Искомое число — 8712.
Проверка: $8712 : 99 = 88$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить цифры 8 и 2, чтобы получилось число 8712.

3. Для того чтобы определить, может ли число быть квадратом натурального числа, можно использовать признаки делимости.
Найдем сумму цифр, из которых должно состоять число: $2 + 4 + 6 + 9 = 21$.
Любое натуральное число, составленное из этих цифр, будет иметь сумму цифр, равную 21.
Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Так как $21$ делится на 3, любое число, составленное из цифр 2, 4, 6, 9, будет делиться на 3.
Существует свойство для полных квадратов: если натуральное число является полным квадратом и делится на 3, то оно должно делиться и на 9.
Проверим, делится ли наше число на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна 21, а 21 не делится на 9.
Таким образом, любое число, составленное из цифр 2, 4, 6, 9, делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, оно не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Нет, не может.

4. Дано уравнение $n = S(n) + 236$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$.
Перепишем уравнение в виде $n - S(n) = 236$.
Для любого натурального числа $n$ разность $n - S(n)$ всегда делится на 9. Это следует из того, что любое число $n$ и сумма его цифр $S(n)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9, то есть $n \equiv S(n) \pmod{9}$. Следовательно, их разность $n - S(n)$ должна быть кратна 9.
Проверим, делится ли правая часть уравнения, число 236, на 9. Для этого найдем сумму его цифр: $2 + 3 + 6 = 11$.
Число 11 не делится на 9, значит, и 236 не делится на 9.
Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения $n - S(n)$ всегда делится на 9, а правая часть (236) на 9 не делится. Такое равенство невозможно для натуральных чисел $n$.

Ответ: Уравнение не имеет решений в натуральных числах.