Номер 12, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 12, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Рациональные уравнения с параметрами

1. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x+a} = 0;$

2) $\frac{(x-a)(x+8)}{x-7} = 0;$

3) $\frac{x-a}{x-1} = a+2.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнения $(a+2)(x-1)=0$ и $a^2+x=1-2a$ равносильны?

Решение.

1. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x+a}=0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Числитель равен нулю: $x-1=0 \implies x=1$.
2. Знаменатель не равен нулю: $x+a \neq 0$.
Подставим найденное значение $x=1$ в условие для знаменателя: $1+a \neq 0$, то есть $a \neq -1$.
Рассмотрим два случая:
- Если $a \neq -1$, то условие $x+a \neq 0$ при $x=1$ выполняется. Уравнение имеет единственный корень $x=1$.
- Если $a = -1$, то уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=0$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения $x \neq 1$. Но единственный возможный корень, получаемый из числителя, это $x=1$. Так как он не входит в ОДЗ, то при $a=-1$ уравнение корней не имеет.
Ответ: если $a \neq -1$, то $x=1$; если $a=-1$, то корней нет.

2) $\frac{(x-a)(x+8)}{x-7}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} (x-a)(x+8)=0 \\ x-7 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения совокупности находим возможные корни: $x=a$ или $x=-8$.
Из второго условия получаем ограничение: $x \neq 7$.
Рассмотрим корень $x=-8$. Он не равен 7, поэтому $x=-8$ является корнем уравнения при любом значении параметра $a$.
Рассмотрим корень $x=a$. Этот корень будет решением, если он не совпадает с запрещенным значением 7.
- Если $a=7$, то корень $x=a$ совпадает с запрещенным значением $x=7$ и не является решением. В этом случае единственным решением будет $x=-8$.
- Если $a \neq 7$, то корень $x=a$ является решением. В этом случае решениями будут $x=a$ и $x=-8$. (Если $a=-8$, эти корни совпадают, и решением будет $x=-8$).
Ответ: если $a=7$, то $x=-8$; если $a \neq 7$, то $x=a$ и $x=-8$.

3) $\frac{x-a}{x-1}=a+2$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
На ОДЗ умножим обе части уравнения на $(x-1)$:
$x-a = (a+2)(x-1)$
$x-a = (a+2)x - (a+2)$
$x - (a+2)x = a - (a+2)$
$x(1 - a - 2) = a - a - 2$
$x(-a-1) = -2$
$(a+1)x = 2$
Рассмотрим это уравнение:
- Если $a+1=0$, то есть $a=-1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2$. Это неверное равенство, поэтому при $a=-1$ корней нет.
- Если $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, уравнение имеет единственный корень $x=\frac{2}{a+1}$.
Теперь нужно проверить, не нарушает ли этот корень ОДЗ ($x \neq 1$).
Найдем, при каком значении $a$ корень равен 1:
$\frac{2}{a+1} = 1 \implies a+1=2 \implies a=1$.
Таким образом, если $a=1$, корень $x=1$ не входит в ОДЗ, и уравнение не имеет решений.
Ответ: если $a=-1$ или $a=1$, то корней нет; если $a \neq -1$ и $a \neq 1$, то $x=\frac{2}{a+1}$.

2. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Рассмотрим первое уравнение: $(a+2)(x-1)=0$.
- Если $a+2=0$, то есть $a=-2$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x-1) = 0$, или $0=0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Множество решений: $x \in (-\infty; +\infty)$.
- Если $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$, то можно разделить обе части на $(a+2)$, получив $x-1=0$, откуда $x=1$. Множество решений: $\{1\}$.
Рассмотрим второе уравнение: $a^2+x=1-2a$.
Это линейное уравнение относительно $x$. Выразим $x$:
$x = 1 - 2a - a^2$.
При любом значении $a$ это уравнение имеет единственное решение.
Теперь сравним множества решений.
Случай $a=-2$: первое уравнение имеет бесконечно много решений, а второе только одно ($x=1-2(-2)-(-2)^2 = 1+4-4=1$). Множества решений не совпадают, значит при $a=-2$ уравнения не равносильны.
Случай $a \neq -2$: первое уравнение имеет единственный корень $x=1$. Второе уравнение имеет единственный корень $x = 1 - 2a - a^2$. Для равносильности уравнений их корни должны совпадать:
$1 = 1 - 2a - a^2$
$a^2+2a = 0$
$a(a+2) = 0$
Отсюда $a=0$ или $a=-2$.
Поскольку мы рассматриваем случай $a \neq -2$, единственным возможным значением является $a=0$.
Проверим: при $a=0$ первое уравнение $(0+2)(x-1)=0 \implies 2(x-1)=0 \implies x=1$. Второе уравнение $0^2+x=1-2(0) \implies x=1$. Решения совпадают.
Ответ: при $a=0$.