Номер 6, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 6, страница 27.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Основное свойство рациональной дроби

1. Сократите дробь:

1) $ \frac{10x^2 - 2x}{3 - 15x} $

2) $ \frac{a^2 - 64}{a^2 + 16a + 64} $

3) $ \frac{m^6 - m^4}{m - m^3} $

4) $ \frac{m^3 + 125}{4m + 20} $

5) $ \frac{bx + by + 2x + 2y}{4 - b^2} $

6) $ \frac{(3a - 9b)^2}{3b - a} $

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями

дроби:

1) $ \frac{4}{5a^2b} $ и $ \frac{2}{15a^4} $

2) $ \frac{5b}{2a - 3b} $ и $ \frac{4a^2}{a + 4b} $

3) $ \frac{3b}{a + 2b} $, $ \frac{2}{a^2 - 4b^2} $ и $ \frac{1}{a^2 + 4ab + 4b^2} $

3. Постройте график функции $ y = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3} $.

4. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 36}{x + 6} = -12 $.

Решение.

1. Сократите дробь:

1) $\frac{10x^2 - 2x}{3 - 15x}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $2x$, а в знаменателе вынесем за скобки 3:

$\frac{10x^2 - 2x}{3 - 15x} = \frac{2x(5x - 1)}{3(1 - 5x)}$

Заметим, что $(1 - 5x) = -(5x - 1)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{2x(5x - 1)}{3 \cdot (-(5x - 1))} = \frac{2x(5x - 1)}{-3(5x - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(5x - 1)$, при условии, что $5x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{5}$:

$\frac{2x}{-3} = -\frac{2x}{3}$

Ответ: $-\frac{2x}{3}$.

2) $\frac{a^2 - 64}{a^2 + 16a + 64}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а знаменатель — по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\frac{a^2 - 8^2}{(a + 8)^2} = \frac{(a - 8)(a + 8)}{(a + 8)(a + 8)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 8)$, при условии, что $a + 8 \neq 0$, то есть $a \neq -8$:

$\frac{a - 8}{a + 8}$

Ответ: $\frac{a - 8}{a + 8}$.

3) $\frac{m^6 - m^4}{m - m^3}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем $m^4$, в знаменателе — $m$:

$\frac{m^4(m^2 - 1)}{m(1 - m^2)}$

Заметим, что $(1 - m^2) = -(m^2 - 1)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{m^4(m^2 - 1)}{-m(m^2 - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $m(m^2 - 1)$, при условии, что $m \neq 0$ и $m^2 - 1 \neq 0$ (т.е. $m \neq \pm 1$):

$\frac{m^4}{-m} = -m^{4-1} = -m^3$

Ответ: $-m^3$.

4) $\frac{m^3 + 125}{4m + 20}$

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, а в знаменателе вынесем за скобки 4:

$\frac{m^3 + 5^3}{4(m + 5)} = \frac{(m + 5)(m^2 - 5m + 25)}{4(m + 5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m + 5)$, при условии, что $m + 5 \neq 0$, то есть $m \neq -5$:

$\frac{m^2 - 5m + 25}{4}$

Ответ: $\frac{m^2 - 5m + 25}{4}$.

5) $\frac{bx + by + 2x + 2y}{4 - b^2}$

В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(bx + by) + (2x + 2y) = b(x + y) + 2(x + y) = (b + 2)(x + y)$

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов:

$4 - b^2 = 2^2 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$

Получаем дробь:

$\frac{(b + 2)(x + y)}{(2 - b)(2 + b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b + 2)$, при условии, что $b + 2 \neq 0$, то есть $b \neq -2$:

$\frac{x + y}{2 - b}$

Ответ: $\frac{x + y}{2 - b}$.

6) $\frac{(3a - 9b)^2}{3b - a}$

В числителе вынесем 3 из скобок:

$(3(a - 3b))^2 = 3^2(a - 3b)^2 = 9(a - 3b)^2$

В знаменателе вынесем -1 за скобки, чтобы получить выражение, как в числителе:

$3b - a = -(a - 3b)$

Получаем дробь:

$\frac{9(a - 3b)^2}{-(a - 3b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 3b)$, при условии, что $a - 3b \neq 0$, то есть $a \neq 3b$:

$\frac{9(a - 3b)}{-1} = -9(a - 3b) = 9(3b - a)$

Ответ: $9(3b - a)$.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $\frac{4}{5a^2b}$ и $\frac{2}{15a^4}$

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для коэффициентов 5 и 15 НОЗ равен 15. Для переменных берем наибольшую степень: $a^4$ и $b$. Таким образом, НОЗ = $15a^4b$.

Приведем первую дробь к новому знаменателю. Дополнительный множитель: $\frac{15a^4b}{5a^2b} = 3a^2$.

$\frac{4}{5a^2b} = \frac{4 \cdot 3a^2}{5a^2b \cdot 3a^2} = \frac{12a^2}{15a^4b}$

Приведем вторую дробь к новому знаменателю. Дополнительный множитель: $\frac{15a^4b}{15a^4} = b$.

$\frac{2}{15a^4} = \frac{2 \cdot b}{15a^4 \cdot b} = \frac{2b}{15a^4b}$

Ответ: $\frac{12a^2}{15a^4b}$ и $\frac{2b}{15a^4b}$.

2) $\frac{5b}{2a - 3b}$ и $\frac{4a^2}{a + 4b}$

Знаменатели $(2a - 3b)$ и $(a + 4b)$ не имеют общих множителей. Поэтому общий знаменатель равен их произведению: $(2a - 3b)(a + 4b)$.

Для первой дроби дополнительный множитель $(a + 4b)$:

$\frac{5b}{2a - 3b} = \frac{5b(a + 4b)}{(2a - 3b)(a + 4b)} = \frac{5ab + 20b^2}{(2a - 3b)(a + 4b)}$

Для второй дроби дополнительный множитель $(2a - 3b)$:

$\frac{4a^2}{a + 4b} = \frac{4a^2(2a - 3b)}{(a + 4b)(2a - 3b)} = \frac{8a^3 - 12a^2b}{(2a - 3b)(a + 4b)}$

Ответ: $\frac{5ab + 20b^2}{(2a - 3b)(a + 4b)}$ и $\frac{8a^3 - 12a^2b}{(2a - 3b)(a + 4b)}$.

3) $\frac{3b}{a + 2b}$, $\frac{2}{a^2 - 4b^2}$ и $\frac{1}{a^2 + 4ab + 4b^2}$

Сначала разложим на множители знаменатели дробей:

$d_1 = a + 2b$

$d_2 = a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$

$d_3 = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать каждый множитель в наивысшей степени. НОЗ = $(a - 2b)(a + 2b)^2$.

Приведем каждую дробь к НОЗ:

Для первой дроби ($\frac{3b}{a + 2b}$) дополнительный множитель: $\frac{(a - 2b)(a + 2b)^2}{a + 2b} = (a - 2b)(a + 2b) = a^2 - 4b^2$.

$\frac{3b(a^2 - 4b^2)}{(a - 2b)(a + 2b)^2} = \frac{3a^2b - 12b^3}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$

Для второй дроби ($\frac{2}{(a - 2b)(a + 2b)}$) дополнительный множитель: $\frac{(a - 2b)(a + 2b)^2}{(a - 2b)(a + 2b)} = a + 2b$.

$\frac{2(a + 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)^2} = \frac{2a + 4b}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$

Для третьей дроби ($\frac{1}{(a + 2b)^2}$) дополнительный множитель: $\frac{(a - 2b)(a + 2b)^2}{(a + 2b)^2} = a - 2b$.

$\frac{1(a - 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)^2} = \frac{a - 2b}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$

Ответ: $\frac{3a^2b - 12b^3}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$, $\frac{2a + 4b}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$ и $\frac{a - 2b}{(a - 2b)(a + 2b)^2}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

2. Упростим выражение для функции. Числитель представляет собой полный квадрат разности:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 3)^2}{x - 3}$

3. Сократим дробь на $(x - 3)$, так как мы уже учли, что $x \neq 3$:

$y = x - 3$

4. Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с "выколотой" точкой при $x = 3$.

5. Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x = 3$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 3 - 3 = 0$

Координаты выколотой точки: $(3, 0)$.

6. Для построения прямой $y = x - 3$ найдем две любые точки, например:

• При $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x=5$, $y = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$.

Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(3, 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(3, 0)$.

4. Решите уравнение $\frac{x^2 - 36}{x + 6} = -12$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$

2. Разложим числитель левой части уравнения на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$

3. Подставим разложенный числитель в уравнение:

$\frac{(x - 6)(x + 6)}{x + 6} = -12$

4. Сократим дробь на $(x + 6)$, так как по ОДЗ $x \neq -6$:

$x - 6 = -12$

5. Решим полученное линейное уравнение:

$x = -12 + 6$

$x = -6$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы получили $x = -6$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq -6$. Следовательно, найденный корень является посторонним и не может быть решением уравнения.

Ответ: корней нет.