Номер 9, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 9, страница 29.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Умножение и деление рациональных дробей.

Возведение рациональной дроби в степень

1. Выполните умножение:

1) $ \frac{mn^3}{24p} \cdot \left( -\frac{6p}{m^2n} \right); $

2) $ 20m^6 \cdot \frac{3x^3}{5m^9}; $

3) $ \frac{x^{4n+1}y^{n+10}}{z^{n+2}} \cdot \frac{z^{n+4}}{x^{3n+1}y^n}. $

2. Выполните возведение в степень:

1) $ \left( -\frac{4m^2}{5n} \right)^2; $

2) $ \left( -\frac{7x^2b^3}{2y^4z^5} \right)^3. $

3. Выполните деление:

1) $ \frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} : \left( \frac{8x^3y^5}{35m^6n^7} \right); $

2) $ \frac{72a^5b^4}{25y^8} : (24a^7b^9). $

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{4a^2 - 24a + 36}{a^3 + 1} \cdot \frac{7a^2 - 7a + 7}{8a - 24}; $

2) $ \frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} : \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{16x^2 - 24xy + 9y^2}; $

3) $ \frac{(x^n + 2y^n)^2 - 8x^ny^n}{x - y} : \frac{x^{2n} - 4y^{2n}}{x^2 - y^2}. $

5. Известно, что $ 5x - \frac{1}{x} = 4 $. Найдите значение выражения $ 25x^2 + \frac{1}{x^2}. $

Решение.

1) $\frac{mn^3}{24p} \cdot (-\frac{6p}{m^2n}) = -\frac{mn^3 \cdot 6p}{24p \cdot m^2n} = -\frac{6mn^3p}{24m^2np} = -\frac{1 \cdot n^{3-1}}{4 \cdot m^{2-1}} = -\frac{n^2}{4m}$
Ответ: $-\frac{n^2}{4m}$

2) $20m^6 \cdot \frac{3x^3}{5m^9} = \frac{20m^6}{1} \cdot \frac{3x^3}{5m^9} = \frac{20m^6 \cdot 3x^3}{5m^9} = \frac{60m^6x^3}{5m^9} = \frac{12x^3}{m^{9-6}} = \frac{12x^3}{m^3}$
Ответ: $\frac{12x^3}{m^3}$

3) $\frac{x^{4n+1}y^{n+10}}{z^{n+2}} \cdot \frac{z^{n+4}}{x^{3n+1}y^n} = \frac{x^{4n+1}y^{n+10}z^{n+4}}{z^{n+2}x^{3n+1}y^n} = x^{(4n+1)-(3n+1)} y^{(n+10)-n} z^{(n+4)-(n+2)} = x^{n}y^{10}z^2$
Ответ: $x^n y^{10} z^2$

1) $(-\frac{4m^2}{5n})^2 = \frac{(-4m^2)^2}{(5n)^2} = \frac{(-4)^2(m^2)^2}{5^2n^2} = \frac{16m^{2 \cdot 2}}{25n^2} = \frac{16m^4}{25n^2}$
Ответ: $\frac{16m^4}{25n^2}$

2) $(-\frac{7x^2b^3}{2y^4z^5})^3 = -\frac{(7x^2b^3)^3}{(2y^4z^5)^3} = -\frac{7^3(x^2)^3(b^3)^3}{2^3(y^4)^3(z^5)^3} = -\frac{343x^6b^9}{8y^{12}z^{15}}$
Ответ: $-\frac{343x^6b^9}{8y^{12}z^{15}}$

1) $\frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} : (-\frac{8x^3y^5}{35m^6n^7}) = \frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} \cdot (-\frac{35m^6n^7}{8x^3y^5}) = -\frac{16 \cdot 35 \cdot x^2y^8m^6n^7}{15 \cdot 8 \cdot m^4n^8x^3y^5} = -\frac{2 \cdot 7 \cdot m^2y^3}{3 \cdot n x} = -\frac{14m^2y^3}{3nx}$
Ответ: $-\frac{14m^2y^3}{3nx}$

2) $\frac{72a^5b^4}{25y^8} : (24a^7b^9) = \frac{72a^5b^4}{25y^8} \cdot \frac{1}{24a^7b^9} = \frac{72a^5b^4}{25y^8 \cdot 24a^7b^9} = \frac{3}{25y^8a^{7-5}b^{9-4}} = \frac{3}{25a^2b^5y^8}$
Ответ: $\frac{3}{25a^2b^5y^8}$

1) $\frac{4a^2 - 24a + 36}{a^3 + 1} \cdot \frac{7a^2 - 7a + 7}{8a - 24} = \frac{4(a^2 - 6a + 9)}{(a+1)(a^2-a+1)} \cdot \frac{7(a^2 - a + 1)}{8(a-3)} = \frac{4(a-3)^2 \cdot 7(a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1) \cdot 8(a-3)} = \frac{28(a-3)}{8(a+1)} = \frac{7(a-3)}{2(a+1)}$
Ответ: $\frac{7(a-3)}{2(a+1)}$

2) $\frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} : \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{16x^2 - 24xy + 9y^2} = \frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} \cdot \frac{16x^2 - 24xy + 9y^2}{x^2 + 6xy + 9y^2} = \frac{(x-3y)(x+3y)}{(4x-3y)(4x+3y)} \cdot \frac{(4x-3y)^2}{(x+3y)^2} = \frac{(x-3y)(4x-3y)}{(4x+3y)(x+3y)}$
Ответ: $\frac{(x-3y)(4x-3y)}{(x+3y)(4x+3y)}$

3) $(\frac{(x^n + 2y^n)^2 - 8x^ny^n}{x-y}) : \frac{x^{2n} - 4y^{2n}}{x^2 - y^2} = \frac{x^{2n} + 4x^ny^n + 4y^{2n} - 8x^ny^n}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{x^{2n}-4y^{2n}} = \frac{x^{2n} - 4x^ny^n + 4y^{2n}}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x^n-2y^n)(x^n+2y^n)} = \frac{(x^n-2y^n)^2}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x^n-2y^n)(x^n+2y^n)} = \frac{(x^n-2y^n)(x+y)}{x^n+2y^n}$
Ответ: $\frac{(x^n-2y^n)(x+y)}{x^n+2y^n}$

5. Возведем обе части равенства $5x - \frac{1}{x} = 4$ в квадрат:
$(5x - \frac{1}{x})^2 = 4^2$
$(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 16$
$25x^2 - 10 + \frac{1}{x^2} = 16$
$25x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 10$
$25x^2 + \frac{1}{x^2} = 26$
Ответ: 26