Номер 10, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 10, страница 29.
№10 (с. 29)
Условие. №10 (с. 29)
скриншот условия


Самостоятельная работа № 10
Тождественные преобразования рациональных выражений
1. Упростите выражение:
1) $(\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3}) : \frac{3a^2+27}{9-a^2}$
2) $\frac{3a}{a-4} - \frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a}$
3) $\frac{1 - \frac{6}{x}}{\frac{12x-36}{x}} \cdot x$
2. Докажите тождество:
$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \left(\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2}\right) = 2m.$
3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения
$\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)$
не зависит от значения $a$.
Решение. №10 (с. 29)
1.
1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$.
$\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3} = \frac{(a+3)^2 + (a-3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+6a+9 + a^2-6a+9}{a^2-9} = \frac{2a^2+18}{a^2-9} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9}$
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, и разложим ее знаменатель на множители.
$\frac{3a^2+27}{9-a^2} = \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)}$
$\frac{2(a^2+9)}{a^2-9} : \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9} \cdot \frac{-(a^2-9)}{3(a^2+9)}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{2\cancel{(a^2+9)}}{\cancel{a^2-9}} \cdot \frac{-\cancel{(a^2-9)}}{3\cancel{(a^2+9)}} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$
2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение, предварительно разложив знаменатели на множители.
$\frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a} = \frac{a+2}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a(a+2)}$
Сократим общие множители $(a+2)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{\cancel{a+2}}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a(\cancel{a+2})} = \frac{240}{5a(a-4)} = \frac{48}{a(a-4)}$
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-4)$.
$\frac{3a}{a-4} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a \cdot a}{a(a-4)} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a^2-48}{a(a-4)}$
Вынесем общий множитель в числителе и применим формулу разности квадратов:
$\frac{3(a^2-16)}{a(a-4)} = \frac{3(a-4)(a+4)}{a(a-4)}$
Сократим общий множитель $(a-4)$:
$\frac{3\cancel{(a-4)}(a+4)}{a\cancel{(a-4)}} = \frac{3(a+4)}{a}$
Ответ: $\frac{3(a+4)}{a}$
3) Упростим выражение. Сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби.
Числитель: $1 - \frac{6}{x} = \frac{x-6}{x}$
Знаменатель: $\frac{12x-36}{x} - x = \frac{12x-36-x^2}{x} = \frac{-(x^2-12x+36)}{x} = \frac{-(x-6)^2}{x}$
Теперь подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{\frac{x-6}{x}}{\frac{-(x-6)^2}{x}}$
Разделим дроби, умножив числитель на перевернутый знаменатель:
$\frac{x-6}{x} \cdot \frac{x}{-(x-6)^2} = \frac{\cancel{x-6}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{-(\cancel{x-6})(x-6)} = \frac{1}{-(x-6)} = \frac{1}{6-x}$
Ответ: $\frac{1}{6-x}$
2.
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что оно представляет собой полный квадрат суммы.
$\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2} = \left(\frac{1}{m+8}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{m+8} \cdot \frac{1}{m-8} + \left(\frac{1}{m-8}\right)^2$
Используя формулу $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, получаем:
$\left(\frac{1}{m+8} + \frac{1}{m-8}\right)^2$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$\left(\frac{m-8+m+8}{(m+8)(m-8)}\right)^2 = \left(\frac{2m}{m^2-64}\right)^2 = \frac{4m^2}{(m^2-64)^2}$
Теперь выполним деление:
$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \frac{4m^2}{(m^2-64)^2} = \frac{8m^3}{(m^2-64)^2} \cdot \frac{(m^2-64)^2}{4m^2}$
Сократим общие множители:
$\frac{8m^3}{\cancel{(m^2-64)^2}} \cdot \frac{\cancel{(m^2-64)^2}}{4m^2} = \frac{8m^3}{4m^2} = 2m$
Левая часть тождества равна правой части ($2m = 2m$). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
3.
Упростим данное выражение. Преобразуем поочередно каждую из скобок.
Первая скобка: $\left( \frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1} \right)$
Используем формулу суммы кубов: $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$. Общий знаменатель - $a^3+1$.
$\frac{1 \cdot (a^2-a+1)}{a^3+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3 \cdot (a+1)}{a^3+1} = \frac{a^2-a+1-3+3a+3}{a^3+1} = \frac{a^2+2a+1}{a^3+1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a+1}{a^2-a+1}$
Вторая скобка: $\left( a - \frac{2a-1}{a+1} \right)$
Приведем к общему знаменателю $a+1$:
$\frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} = \frac{a^2+a-2a+1}{a+1} = \frac{a^2-a+1}{a+1}$
Теперь перемножим результаты, полученные после упрощения скобок:
$\left( \frac{a+1}{a^2-a+1} \right) \cdot \left( \frac{a^2-a+1}{a+1} \right) = 1$
После упрощения выражение равно 1. Это значение является константой и не зависит от переменной $a$. Утверждение доказано.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 29 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 29), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.