Номер 10, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 10, страница 29.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Тождественные преобразования рациональных выражений

1. Упростите выражение:

1) $(\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3}) : \frac{3a^2+27}{9-a^2}$

2) $\frac{3a}{a-4} - \frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a}$

3) $\frac{1 - \frac{6}{x}}{\frac{12x-36}{x}} \cdot x$

2. Докажите тождество:

$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \left(\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2}\right) = 2m.$

3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)$

не зависит от значения $a$.

Решение.

1.

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$.

$\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3} = \frac{(a+3)^2 + (a-3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+6a+9 + a^2-6a+9}{a^2-9} = \frac{2a^2+18}{a^2-9} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9}$

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, и разложим ее знаменатель на множители.

$\frac{3a^2+27}{9-a^2} = \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)}$

$\frac{2(a^2+9)}{a^2-9} : \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9} \cdot \frac{-(a^2-9)}{3(a^2+9)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{(a^2+9)}}{\cancel{a^2-9}} \cdot \frac{-\cancel{(a^2-9)}}{3\cancel{(a^2+9)}} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение, предварительно разложив знаменатели на множители.

$\frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a} = \frac{a+2}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a(a+2)}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и числовые коэффициенты:

$\frac{\cancel{a+2}}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a(\cancel{a+2})} = \frac{240}{5a(a-4)} = \frac{48}{a(a-4)}$

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-4)$.

$\frac{3a}{a-4} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a \cdot a}{a(a-4)} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a^2-48}{a(a-4)}$

Вынесем общий множитель в числителе и применим формулу разности квадратов:

$\frac{3(a^2-16)}{a(a-4)} = \frac{3(a-4)(a+4)}{a(a-4)}$

Сократим общий множитель $(a-4)$:

$\frac{3\cancel{(a-4)}(a+4)}{a\cancel{(a-4)}} = \frac{3(a+4)}{a}$

Ответ: $\frac{3(a+4)}{a}$

3) Упростим выражение. Сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби.

Числитель: $1 - \frac{6}{x} = \frac{x-6}{x}$

Знаменатель: $\frac{12x-36}{x} - x = \frac{12x-36-x^2}{x} = \frac{-(x^2-12x+36)}{x} = \frac{-(x-6)^2}{x}$

Теперь подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\frac{\frac{x-6}{x}}{\frac{-(x-6)^2}{x}}$

Разделим дроби, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{x-6}{x} \cdot \frac{x}{-(x-6)^2} = \frac{\cancel{x-6}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{-(\cancel{x-6})(x-6)} = \frac{1}{-(x-6)} = \frac{1}{6-x}$

Ответ: $\frac{1}{6-x}$

2.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что оно представляет собой полный квадрат суммы.

$\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2} = \left(\frac{1}{m+8}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{m+8} \cdot \frac{1}{m-8} + \left(\frac{1}{m-8}\right)^2$

Используя формулу $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, получаем:

$\left(\frac{1}{m+8} + \frac{1}{m-8}\right)^2$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\left(\frac{m-8+m+8}{(m+8)(m-8)}\right)^2 = \left(\frac{2m}{m^2-64}\right)^2 = \frac{4m^2}{(m^2-64)^2}$

Теперь выполним деление:

$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \frac{4m^2}{(m^2-64)^2} = \frac{8m^3}{(m^2-64)^2} \cdot \frac{(m^2-64)^2}{4m^2}$

Сократим общие множители:

$\frac{8m^3}{\cancel{(m^2-64)^2}} \cdot \frac{\cancel{(m^2-64)^2}}{4m^2} = \frac{8m^3}{4m^2} = 2m$

Левая часть тождества равна правой части ($2m = 2m$). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3.

Упростим данное выражение. Преобразуем поочередно каждую из скобок.

Первая скобка: $\left( \frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1} \right)$

Используем формулу суммы кубов: $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$. Общий знаменатель - $a^3+1$.

$\frac{1 \cdot (a^2-a+1)}{a^3+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3 \cdot (a+1)}{a^3+1} = \frac{a^2-a+1-3+3a+3}{a^3+1} = \frac{a^2+2a+1}{a^3+1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a+1}{a^2-a+1}$

Вторая скобка: $\left( a - \frac{2a-1}{a+1} \right)$

Приведем к общему знаменателю $a+1$:

$\frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} = \frac{a^2+a-2a+1}{a+1} = \frac{a^2-a+1}{a+1}$

Теперь перемножим результаты, полученные после упрощения скобок:

$\left( \frac{a+1}{a^2-a+1} \right) \cdot \left( \frac{a^2-a+1}{a+1} \right) = 1$

После упрощения выражение равно 1. Это значение является константой и не зависит от переменной $a$. Утверждение доказано.

Ответ: 1