Номер 11, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 11, страница 30.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Рациональные уравнения

1. Равносильны ли уравнения:

1) $x^4 = -1$ и $\frac{5}{x} = 0$;

2) $x + 4 = 4 + x$ и $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = 1$;

3) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = 0$ и $x^2 - 16 = 0$;

4) $\frac{(x + 5)^2}{x - 2} = 0$ и $x + 5 = 0?$

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) $(x + 3)(x - 2) = 0$ и $x + 3 = 0$;

2) $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$ и $x^2 - 1 = 0?$

3. Решите уравнение:

1) $\frac{9x - 7}{3x - 2} - \frac{4x - 5}{2x - 3} = 1$;

2) $\frac{x^2 + 20}{x^2 - 4} = \frac{x - 3}{x + 2} - \frac{6}{2 - x}$;

3) $\frac{5}{x^2 - 7x} - \frac{x - 5}{x^2 + 7x} - \frac{9}{x^2 - 49} = 0.$

Решение.

1. Равносильны ли уравнения:

1) $x^4 = -1$ и $\frac{5}{x} = 0$

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Решим первое уравнение: $x^4 = -1$.

Так как четная степень любого действительного числа неотрицательна ($x^4 \ge 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Решим второе уравнение: $\frac{5}{x} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 5, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение также не имеет корней. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) $x + 4 = 4 + x$ и $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = 1$

Рассмотрим первое уравнение: $x + 4 = 4 + x$.

Это тождество, верное для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x^2 + 4 \ne 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю. На всей своей области определения (все действительные числа) уравнение представляет собой верное равенство $1 = 1$. Таким образом, его решением является любое действительное число. Множество решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

3) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = 0$ и $x^2 - 16 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = 0$.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель: $x^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4)=0 \Rightarrow x = 4$ или $x = -4$.
Знаменатель: $x + 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne -4$.
Исключая $x=-4$, получаем единственный корень $x = 4$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 16 = 0$.

Его корни: $x = 4$ и $x = -4$.

Множество решений первого уравнения $\{4\}$, а второго — $\{-4, 4\}$. Так как множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не равносильны.

4) $\frac{(x + 5)^2}{x - 2} = 0$ и $x + 5 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{(x + 5)^2}{x - 2} = 0$.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель: $(x + 5)^2 = 0 \Rightarrow x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.
Знаменатель: $x - 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.
Корень $x = -5$ удовлетворяет условию $x \ne 2$. Множество решений: $\{-5\}$.

Решим второе уравнение: $x + 5 = 0$.

Его корень $x = -5$. Множество решений: $\{-5\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2. Какое из уравнений является следствием другого:

Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если все корни уравнения (А) являются корнями уравнения (Б).

1) $(x + 3)(x - 2) = 0$ и $x + 3 = 0$

Корни первого уравнения $(x + 3)(x - 2) = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

Корень второго уравнения $x + 3 = 0$: $x = -3$.

Множество корней второго уравнения $\{-3\}$ является подмножеством множества корней первого уравнения $\{-3, 2\}$. Это означает, что любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $(x + 3)(x - 2) = 0$ является следствием уравнения $x + 3 = 0$.

2) $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$ и $x^2 - 1 = 0$

Решим первое уравнение $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$.

ОДЗ: $x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$.
На ОДЗ уравнение равносильно $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.
Учитывая ОДЗ, единственным корнем является $x = 1$.

Решим второе уравнение $x^2 - 1 = 0$.

Его корни $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Множество корней первого уравнения $\{1\}$ является подмножеством множества корней второго уравнения $\{1, -1\}$. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: уравнение $x^2 - 1 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$.

3. Решите уравнение:

1) $\frac{9x - 7}{3x - 2} - \frac{4x - 5}{2x - 3} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$3x - 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{2}{3}$
$2x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(3x - 2)(2x - 3)$ и перенесем 1 влево:
$\frac{(9x - 7)(2x - 3) - (4x - 5)(3x - 2) - (3x - 2)(2x - 3)}{(3x - 2)(2x - 3)} = 0$

Раскроем скобки в числителе:
$(18x^2 - 27x - 14x + 21) - (12x^2 - 8x - 15x + 10) - (6x^2 - 9x - 4x + 6) = 0$
$(18x^2 - 41x + 21) - (12x^2 - 23x + 10) - (6x^2 - 13x + 6) = 0$
$18x^2 - 41x + 21 - 12x^2 + 23x - 10 - 6x^2 + 13x - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(18x^2 - 12x^2 - 6x^2) + (-41x + 23x + 13x) + (21 - 10 - 6) = 0$
$0 \cdot x^2 - 5x + 5 = 0$
$-5x + 5 = 0$
$5x = 5$
$x = 1$

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne \frac{2}{3}$ и $x \ne \frac{3}{2}$).

Ответ: 1.

2) $\frac{x^2 + 20}{x^2 - 4} = \frac{x - 3}{x + 2} - \frac{6}{2 - x}$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 4 \ne 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Преобразуем уравнение, учитывая, что $2 - x = -(x - 2)$ и $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:
$\frac{x^2 + 20}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{6}{x - 2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 2)(x + 2)$ при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$x^2 + 20 = (x - 3)(x - 2) + 6(x + 2)$

Раскроем скобки:
$x^2 + 20 = (x^2 - 2x - 3x + 6) + (6x + 12)$
$x^2 + 20 = x^2 - 5x + 6 + 6x + 12$

Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 20 = x^2 + x + 18$
$20 = x + 18$
$x = 2$

Полученный корень $x=2$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

3) $\frac{5}{x^2 - 7x} - \frac{x - 5}{x^2 + 7x} - \frac{9}{x^2 - 49} = 0$

Разложим знаменатели на множители для нахождения ОДЗ и общего знаменателя:
$x^2 - 7x = x(x - 7)$
$x^2 + 7x = x(x + 7)$
$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 7$, $x \ne -7$.

Общий знаменатель: $x(x - 7)(x + 7)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{5(x + 7)}{x(x - 7)(x + 7)} - \frac{(x - 5)(x - 7)}{x(x - 7)(x + 7)} - \frac{9x}{x(x - 7)(x + 7)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:
$5(x + 7) - (x - 5)(x - 7) - 9x = 0$

Раскроем скобки:
$5x + 35 - (x^2 - 7x - 5x + 35) - 9x = 0$
$5x + 35 - (x^2 - 12x + 35) - 9x = 0$
$5x + 35 - x^2 + 12x - 35 - 9x = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + (5x + 12x - 9x) + (35 - 35) = 0$
$-x^2 + 8x = 0$
$x^2 - 8x = 0$
$x(x - 8) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:
$x_1 = 0$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 8$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 8.