Номер 13, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 13, страница 31.
№13 (с. 31)
Условие. №13 (с. 31)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 13
Степень с целым отрицательным показателем
1. Найдите значение выражения:
1) $5^{-3} + 10^{-2};$
2) $(\frac{3}{8})^{-1} + 3^{-2} - (-2,6)^0;$
3) $(\frac{2}{3})^{-3} \cdot 9^{-2}.$
2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:
1) $\frac{7,8^0 x^{-10} y^{-13} z^0}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}};$
2) $(3a + b)^{-2} : (3b^{-1} + a^{-1})^{-1}.$
3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 560;
2) 0,023;
3) $670 \cdot 10^4;$
4) $76 \cdot 10^{-3}.$
4. Сравните:
1) $5,8 \cdot 10^{-5}$ и $6,2 \cdot 10^{-6};$
2) $3,45 \cdot 10^5$ и $0,34 \cdot 10^6;$
3) $22,8 \cdot 10^{-9}$ и $0,058 \cdot 10^{-7}.$
5. Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
Решение. №13 (с. 31)
1. Найдите значение выражения:
1) $5^{-3} + 10^{-2}$
Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$
Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 500:
$\frac{1}{125} + \frac{1}{100} = \frac{1 \cdot 4}{500} + \frac{1 \cdot 5}{500} = \frac{4+5}{500} = \frac{9}{500} = 0,018$.
Ответ: $0,018$.
2) $(\frac{3}{8})^{-1} + 3^{-2} - (-2,6)^0$
Используем свойства степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, и $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$.
$(\frac{3}{8})^{-1} = \frac{8}{3}$
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
$(-2,6)^0 = 1$
Подставим значения в выражение:
$\frac{8}{3} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = \frac{24 + 1 - 9}{9} = \frac{16}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.
3) $(\frac{2}{3})^{-3} \cdot 9^{-2}$
Преобразуем каждый множитель:
$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$
$9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$
Выполним умножение:
$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{8 \cdot 81}$. Сократим числитель и знаменатель на 27: $\frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$.
2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:
1) $\frac{7,8^0 x^{-10} y^{-13} z^0}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}}$
Используем свойство $n^0=1$ для $n \ne 0$: $7,8^0=1$ и $z^0=1$.
Перенесем степени с отрицательными показателями из числителя в знаменатель и наоборот, изменив знак показателя на положительный:
$\frac{1 \cdot x^{-10} y^{-13} \cdot 1}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}} = \frac{7^2 b^{15} c^7}{a^6 x^{10} y^{13}} = \frac{49b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$.
Ответ: $\frac{49b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$.
2) $(3a + b)^{-2} : (3b^{-1} + a^{-1})^{-1}$
Сначала упростим выражение во вторых скобках:
$3b^{-1} + a^{-1} = \frac{3}{b} + \frac{1}{a} = \frac{3a + b}{ab}$.
Тогда $(3b^{-1} + a^{-1})^{-1} = (\frac{3a+b}{ab})^{-1} = \frac{ab}{3a+b}$.
Теперь выполним деление:
$(3a + b)^{-2} : \frac{ab}{3a+b} = \frac{1}{(3a+b)^2} \cdot \frac{3a+b}{ab}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3a+b)$:
$\frac{1}{(3a+b)^2} \cdot \frac{3a+b}{ab} = \frac{1}{ab(3a+b)}$.
Ответ: $\frac{1}{ab(3a+b)}$.
3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — порядок числа.
1) 560
$560 = 5,6 \cdot 100 = 5,6 \cdot 10^2$.
Ответ: Стандартный вид $5,6 \cdot 10^2$, порядок 2.
2) 0,023
$0,023 = 2,3 \cdot 0,01 = 2,3 \cdot 10^{-2}$.
Ответ: Стандартный вид $2,3 \cdot 10^{-2}$, порядок -2.
3) $670 \cdot 10^4$
Сначала представим $670$ в стандартном виде: $670 = 6,7 \cdot 10^2$.
$670 \cdot 10^4 = (6,7 \cdot 10^2) \cdot 10^4 = 6,7 \cdot 10^{2+4} = 6,7 \cdot 10^6$.
Ответ: Стандартный вид $6,7 \cdot 10^6$, порядок 6.
4) $76 \cdot 10^{-3}$
Сначала представим $76$ в стандартном виде: $76 = 7,6 \cdot 10^1$.
$76 \cdot 10^{-3} = (7,6 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 7,6 \cdot 10^{1-3} = 7,6 \cdot 10^{-2}$.
Ответ: Стандартный вид $7,6 \cdot 10^{-2}$, порядок -2.
4. Сравните:
1) $5,8 \cdot 10^{-5}$ и $6,2 \cdot 10^{-6}$
Сравниваем порядки чисел: $-5$ и $-6$. Поскольку $-5 > -6$, первое число больше.
Ответ: $5,8 \cdot 10^{-5} > 6,2 \cdot 10^{-6}$.
2) $3,45 \cdot 10^5$ и $0,34 \cdot 10^6$
Приведем второе число к стандартному виду: $0,34 \cdot 10^6 = (3,4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^6 = 3,4 \cdot 10^5$.
Теперь сравниваем $3,45 \cdot 10^5$ и $3,4 \cdot 10^5$. Порядки одинаковы (5), поэтому сравниваем мантиссы: $3,45 > 3,4$. Значит, первое число больше.
Ответ: $3,45 \cdot 10^5 > 0,34 \cdot 10^6$.
3) $22,8 \cdot 10^{-9}$ и $0,058 \cdot 10^{-7}$
Приведем оба числа к стандартному виду:
$22,8 \cdot 10^{-9} = (2,28 \cdot 10^1) \cdot 10^{-9} = 2,28 \cdot 10^{-8}$.
$0,058 \cdot 10^{-7} = (5,8 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-7} = 5,8 \cdot 10^{-9}$.
Сравниваем полученные числа $2,28 \cdot 10^{-8}$ и $5,8 \cdot 10^{-9}$. Сравниваем порядки: $-8 > -9$. Значит, первое число больше.
Ответ: $22,8 \cdot 10^{-9} > 0,058 \cdot 10^{-7}$.
5. Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
Если порядок натурального числа равен $n$, то в стандартном виде оно записывается как $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Это означает, что число находится в промежутке $[1 \cdot 10^n, 10 \cdot 10^n)$, то есть $[10^n, 10^{n+1})$.
В нашем случае порядок $n=6$. Значит, число находится в промежутке $[10^6, 10^7)$. $10^6 = 1\ 000\ 000$ (число с 7 цифрами). $10^7 = 10\ 000\ 000$ (число с 8 цифрами). Все натуральные числа от $1\ 000\ 000$ до $9\ 999\ 999$ включительно являются семизначными. Таким образом, если порядок натурального числа равен 6, оно содержит $6+1=7$ цифр.
Ответ: 7 цифр.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 31 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 31), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.