Номер 13, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 13, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Степень с целым отрицательным показателем

1. Найдите значение выражения:

1) $5^{-3} + 10^{-2};$

2) $(\frac{3}{8})^{-1} + 3^{-2} - (-2,6)^0;$

3) $(\frac{2}{3})^{-3} \cdot 9^{-2}.$

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{7,8^0 x^{-10} y^{-13} z^0}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}};$

2) $(3a + b)^{-2} : (3b^{-1} + a^{-1})^{-1}.$

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 560;

2) 0,023;

3) $670 \cdot 10^4;$

4) $76 \cdot 10^{-3}.$

4. Сравните:

1) $5,8 \cdot 10^{-5}$ и $6,2 \cdot 10^{-6};$

2) $3,45 \cdot 10^5$ и $0,34 \cdot 10^6;$

3) $22,8 \cdot 10^{-9}$ и $0,058 \cdot 10^{-7}.$

5. Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) $5^{-3} + 10^{-2}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$

Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 500:

$\frac{1}{125} + \frac{1}{100} = \frac{1 \cdot 4}{500} + \frac{1 \cdot 5}{500} = \frac{4+5}{500} = \frac{9}{500} = 0,018$.

Ответ: $0,018$.

2) $(\frac{3}{8})^{-1} + 3^{-2} - (-2,6)^0$

Используем свойства степеней: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, и $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$.

$(\frac{3}{8})^{-1} = \frac{8}{3}$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$(-2,6)^0 = 1$

Подставим значения в выражение:

$\frac{8}{3} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = \frac{24 + 1 - 9}{9} = \frac{16}{9}$.

Ответ: $\frac{16}{9}$.

3) $(\frac{2}{3})^{-3} \cdot 9^{-2}$

Преобразуем каждый множитель:

$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

$9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$

Выполним умножение:

$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{8 \cdot 81}$. Сократим числитель и знаменатель на 27: $\frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$.

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{7,8^0 x^{-10} y^{-13} z^0}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}}$

Используем свойство $n^0=1$ для $n \ne 0$: $7,8^0=1$ и $z^0=1$.

Перенесем степени с отрицательными показателями из числителя в знаменатель и наоборот, изменив знак показателя на положительный:

$\frac{1 \cdot x^{-10} y^{-13} \cdot 1}{7^{-2} a^6 b^{-15} c^{-7}} = \frac{7^2 b^{15} c^7}{a^6 x^{10} y^{13}} = \frac{49b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$.

Ответ: $\frac{49b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$.

2) $(3a + b)^{-2} : (3b^{-1} + a^{-1})^{-1}$

Сначала упростим выражение во вторых скобках:

$3b^{-1} + a^{-1} = \frac{3}{b} + \frac{1}{a} = \frac{3a + b}{ab}$.

Тогда $(3b^{-1} + a^{-1})^{-1} = (\frac{3a+b}{ab})^{-1} = \frac{ab}{3a+b}$.

Теперь выполним деление:

$(3a + b)^{-2} : \frac{ab}{3a+b} = \frac{1}{(3a+b)^2} \cdot \frac{3a+b}{ab}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a+b)$:

$\frac{1}{(3a+b)^2} \cdot \frac{3a+b}{ab} = \frac{1}{ab(3a+b)}$.

Ответ: $\frac{1}{ab(3a+b)}$.

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — порядок числа.

1) 560

$560 = 5,6 \cdot 100 = 5,6 \cdot 10^2$.

Ответ: Стандартный вид $5,6 \cdot 10^2$, порядок 2.

2) 0,023

$0,023 = 2,3 \cdot 0,01 = 2,3 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Стандартный вид $2,3 \cdot 10^{-2}$, порядок -2.

3) $670 \cdot 10^4$

Сначала представим $670$ в стандартном виде: $670 = 6,7 \cdot 10^2$.

$670 \cdot 10^4 = (6,7 \cdot 10^2) \cdot 10^4 = 6,7 \cdot 10^{2+4} = 6,7 \cdot 10^6$.

Ответ: Стандартный вид $6,7 \cdot 10^6$, порядок 6.

4) $76 \cdot 10^{-3}$

Сначала представим $76$ в стандартном виде: $76 = 7,6 \cdot 10^1$.

$76 \cdot 10^{-3} = (7,6 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 7,6 \cdot 10^{1-3} = 7,6 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Стандартный вид $7,6 \cdot 10^{-2}$, порядок -2.

4. Сравните:

1) $5,8 \cdot 10^{-5}$ и $6,2 \cdot 10^{-6}$

Сравниваем порядки чисел: $-5$ и $-6$. Поскольку $-5 > -6$, первое число больше.

Ответ: $5,8 \cdot 10^{-5} > 6,2 \cdot 10^{-6}$.

2) $3,45 \cdot 10^5$ и $0,34 \cdot 10^6$

Приведем второе число к стандартному виду: $0,34 \cdot 10^6 = (3,4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^6 = 3,4 \cdot 10^5$.

Теперь сравниваем $3,45 \cdot 10^5$ и $3,4 \cdot 10^5$. Порядки одинаковы (5), поэтому сравниваем мантиссы: $3,45 > 3,4$. Значит, первое число больше.

Ответ: $3,45 \cdot 10^5 > 0,34 \cdot 10^6$.

3) $22,8 \cdot 10^{-9}$ и $0,058 \cdot 10^{-7}$

Приведем оба числа к стандартному виду:

$22,8 \cdot 10^{-9} = (2,28 \cdot 10^1) \cdot 10^{-9} = 2,28 \cdot 10^{-8}$.

$0,058 \cdot 10^{-7} = (5,8 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-7} = 5,8 \cdot 10^{-9}$.

Сравниваем полученные числа $2,28 \cdot 10^{-8}$ и $5,8 \cdot 10^{-9}$. Сравниваем порядки: $-8 > -9$. Значит, первое число больше.

Ответ: $22,8 \cdot 10^{-9} > 0,058 \cdot 10^{-7}$.

5. Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Если порядок натурального числа равен $n$, то в стандартном виде оно записывается как $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Это означает, что число находится в промежутке $[1 \cdot 10^n, 10 \cdot 10^n)$, то есть $[10^n, 10^{n+1})$.

В нашем случае порядок $n=6$. Значит, число находится в промежутке $[10^6, 10^7)$. $10^6 = 1\ 000\ 000$ (число с 7 цифрами). $10^7 = 10\ 000\ 000$ (число с 8 цифрами). Все натуральные числа от $1\ 000\ 000$ до $9\ 999\ 999$ включительно являются семизначными. Таким образом, если порядок натурального числа равен 6, оно содержит $6+1=7$ цифр.

Ответ: 7 цифр.