Номер 14, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 14, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Свойства степени с целым показателем

1. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $x^{-10} \cdot x^7;$

2) $x^{-5} : x^{-12};$

3) $(x^4y^6z^{-5})^{-9};$

4) $\left(\frac{x^{-8}}{y^{-5}}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{x^{-4}}{y^8}\right)^{-10}.$

2. Найдите значение выражения:

1) $(11^{-8})^7 \cdot (11^{-4})^{-14};$

2) $\frac{25^{-8} \cdot 5^7}{(-125)^{-5} \cdot (-5)^4};$

3) $\frac{14^6 \cdot 2^{-8}}{28^{-3} \cdot 7^{11}}.$

3. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $7x^{-8} \cdot (-2x^{-3}y^5)^{-3};$

2) $\frac{13m^{-10}}{15n^{-14}} \cdot \frac{45n^3}{52m^{-50}};$

3) $\left(\frac{5a^{-3}}{b^{-2}}\right)^{-3} \cdot (25a^{-8}b^5)^2.$

4. Постройте график функции $y = (x-2)\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^{-1}.$

5. Упростите выражение:

1) $(x^{-4} + 5)(x^{-4} - 5) - (x^{-4} + 6)^2;$

2) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}.$

Решение.

1) Для умножения степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^{-10} \cdot x^{7} = x^{-10+7} = x^{-3}$.
Ответ: $x^{-3}$.

2) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^{-5} : x^{-12} = x^{-5 - (-12)} = x^{-5+12} = x^{7}$.
Ответ: $x^{7}$.

3) Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень. Чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели: $(x^{4}y^{6}z^{-5})^{-9} = (x^{4})^{-9} \cdot (y^{6})^{-9} \cdot (z^{-5})^{-9} = x^{4 \cdot (-9)}y^{6 \cdot (-9)}z^{-5 \cdot (-9)} = x^{-36}y^{-54}z^{45}$.
Ответ: $x^{-36}y^{-54}z^{45}$.

4) Используем свойства возведения дроби в степень и возведения степени в степень: $(\frac{x^{8}}{y^{-5}})^{-4} \cdot (\frac{x^{-4}}{y^{8}})^{-10} = \frac{(x^{8})^{-4}}{(y^{-5})^{-4}} \cdot \frac{(x^{-4})^{-10}}{(y^{8})^{-10}} = \frac{x^{-32}}{y^{20}} \cdot \frac{x^{40}}{y^{-80}} = \frac{x^{-32} \cdot x^{40}}{y^{20} \cdot y^{-80}} = \frac{x^{-32+40}}{y^{20-80}} = \frac{x^{8}}{y^{-60}} = x^{8}y^{60}$.
Ответ: $x^{8}y^{60}$.

1) Применяем свойство возведения степени в степень и свойство умножения степеней: $(11^{-8})^{7} \cdot (11^{-4})^{-14} = 11^{-8 \cdot 7} \cdot 11^{-4 \cdot (-14)} = 11^{-56} \cdot 11^{56} = 11^{-56+56} = 11^{0} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Представим все основания в виде степени числа 5: $25 = 5^2$, $-125 = (-5)^3$. $\frac{25^{-8} \cdot 5^{7}}{(-125)^{-5} \cdot (-5)^{4}} = \frac{(5^{2})^{-8} \cdot 5^{7}}{((-5)^{3})^{-5} \cdot (-5)^{4}} = \frac{5^{-16} \cdot 5^{7}}{(-5)^{-15} \cdot (-5)^{4}} = \frac{5^{-16+7}}{(-5)^{-15+4}} = \frac{5^{-9}}{(-5)^{-11}}$. Так как показатель степени $-11$ нечетный, $(-5)^{-11} = -5^{-11}$. $\frac{5^{-9}}{-5^{-11}} = -5^{-9 - (-11)} = -5^{-9+11} = -5^{2} = -25$.
Ответ: $-25$.

3) Разложим основания 14 и 28 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$, $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$. $\frac{14^{6} \cdot 2^{-8}}{28^{-3} \cdot 7^{11}} = \frac{(2 \cdot 7)^{6} \cdot 2^{-8}}{(2^{2} \cdot 7)^{-3} \cdot 7^{11}} = \frac{2^{6} \cdot 7^{6} \cdot 2^{-8}}{(2^{2})^{-3} \cdot 7^{-3} \cdot 7^{11}} = \frac{2^{6-8} \cdot 7^{6}}{2^{-6} \cdot 7^{-3+11}} = \frac{2^{-2} \cdot 7^{6}}{2^{-6} \cdot 7^{8}} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 7^{6-8} = 2^{4} \cdot 7^{-2} = \frac{16}{7^{2}} = \frac{16}{49}$.
Ответ: $\frac{16}{49}$.

1) $7x^{-8} \cdot (-2x^{-3}y^{5})^{-3} = 7x^{-8} \cdot ((-2)^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^{5})^{-3}) = 7x^{-8} \cdot (\frac{1}{(-2)^3} \cdot x^{9} \cdot y^{-15}) = 7x^{-8} \cdot (-\frac{1}{8}x^{9}y^{-15}) = -\frac{7}{8} \cdot x^{-8+9} \cdot y^{-15} = -\frac{7}{8}xy^{-15} = -\frac{7x}{8y^{15}}$.
Ответ: $-\frac{7x}{8y^{15}}$.

2) $\frac{13m^{-10}}{15n^{-14}} \cdot \frac{45n^{3}}{52m^{-50}} = \frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 52} \cdot \frac{m^{-10}}{m^{-50}} \cdot \frac{n^{3}}{n^{-14}}$. Сократим коэффициенты: $\frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 52} = \frac{13 \cdot 3 \cdot 15}{15 \cdot 4 \cdot 13} = \frac{3}{4}$. Упростим степени: $m^{-10 - (-50)} = m^{40}$, $n^{3 - (-14)} = n^{17}$. Результат: $\frac{3}{4}m^{40}n^{17}$.
Ответ: $\frac{3m^{40}n^{17}}{4}$.

3) $(\frac{5a^{-3}}{b^{-2}})^{-3} \cdot (25a^{-8}b^{5})^{2} = \frac{5^{-3}(a^{-3})^{-3}}{(b^{-2})^{-3}} \cdot 25^{2}(a^{-8})^{2}(b^{5})^{2} = \frac{5^{-3}a^{9}}{b^{6}} \cdot (5^2)^{2}a^{-16}b^{10} = \frac{a^{9}}{125b^{6}} \cdot 5^{4}a^{-16}b^{10} = \frac{a^{9}}{125b^{6}} \cdot 625a^{-16}b^{10} = \frac{625}{125} \cdot a^{9-16} \cdot b^{10-6} = 5a^{-7}b^{4} = \frac{5b^{4}}{a^{7}}$.
Ответ: $\frac{5b^{4}}{a^{7}}$.

4. Упростим выражение для функции: $y = (x-2) \cdot (\frac{x-2}{x-1})^{-1} = (x-2) \cdot \frac{x-1}{x-2}$. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, и основание степени с отрицательным показателем не может быть равно нулю. 1. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. 2. $\frac{x-2}{x-1} \neq 0 \implies x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$. На этой области определения можно сократить дробь: $y = \frac{(x-2)(x-1)}{x-2} = x-1$. Графиком функции является прямая $y=x-1$ с двумя "выколотыми" точками. Найдем координаты этих точек: - при $x=1$, $y=1-1=0$. Точка $(1; 0)$ выколота. - при $x=2$, $y=2-1=1$. Точка $(2; 1)$ выколота. Для построения графика нужно: 1. Построить прямую $y=x-1$. Для этого можно взять две любые точки, например, $(0; -1)$ и $(3; 2)$. 2. На построенной прямой отметить пустыми кружочками точки с координатами $(1; 0)$ и $(2; 1)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-1$ с выколотыми точками $(1;0)$ и $(2;1)$.

1) Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. $(x^{-4}+5)(x^{-4}-5) - (x^{-4}+6)^{2} = ((x^{-4})^{2} - 5^{2}) - ((x^{-4})^{2} + 2 \cdot x^{-4} \cdot 6 + 6^{2}) = (x^{-8} - 25) - (x^{-8} + 12x^{-4} + 36) = x^{-8} - 25 - x^{-8} - 12x^{-4} - 36 = -12x^{-4} - 61$.
Ответ: $-12x^{-4} - 61$.

2) Преобразуем выражение, используя свойства степеней. $\frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})} + \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$. Приведем к общему знаменателю $2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})$: $= \frac{a^{-2}+b^{-2} + b^{-1}(2a^{-1})}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})} = \frac{a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})}$. Числитель является полным квадратом: $a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2} = (a^{-1}+b^{-1})^2$. $= \frac{(a^{-1}+b^{-1})^{2}}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})}$. Сократим дробь на $(a^{-1}+b^{-1})$: $= \frac{a^{-1}+b^{-1}}{2a^{-1}} = \frac{a^{-1}}{2a^{-1}} + \frac{b^{-1}}{2a^{-1}} = \frac{1}{2} + \frac{1/b}{2/a} = \frac{1}{2} + \frac{a}{2b} = \frac{b+a}{2b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{2b}$.