Номер 7, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 7, страница 27.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{4c - 3d}{cd} - \frac{c - 3d}{cd} $

2) $ \frac{6x}{x^2 - 16} + \frac{24}{x^2 - 16} $

3) $ \frac{m^2 + 10m}{9 - m^2} - \frac{4m - 9}{9 - m^2} $

2. Упростите выражение:

1) $ \frac{23}{x - 3} - \frac{x^3 - 4}{3 - x} $

2) $ \frac{25 - 3x}{(x - 5)^2} - \frac{7x - x^2}{(5 - x)^2} $

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $ \frac{5x - 2}{(x - 3)^3} + \frac{x + 4}{(3 - x)^3} - \frac{6}{(x - 3)^3} $ принимает положительные значения.

4. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{12n + 4}{4n - 3} $

2) $ \frac{2n^2 - 3n - 12}{n - 3} $

Решение.

1) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{4c - 3d}{cd} - \frac{c - 3d}{cd} = \frac{(4c - 3d) - (c - 3d)}{cd} = \frac{4c - 3d - c + 3d}{cd} = \frac{3c}{cd}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $c$:

$\frac{3c}{cd} = \frac{3}{d}$

Ответ: $\frac{3}{d}$.

---

2) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{6x}{x^2 - 16} + \frac{24}{x^2 - 16} = \frac{6x + 24}{x^2 - 16}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{6(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 4)$:

$\frac{6}{x - 4}$

Ответ: $\frac{6}{x - 4}$.

---

3) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{m^2 + 10m}{9 - m^2} - \frac{4m - 9}{9 - m^2} = \frac{(m^2 + 10m) - (4m - 9)}{9 - m^2} = \frac{m^2 + 10m - 4m + 9}{9 - m^2} = \frac{m^2 + 6m + 9}{9 - m^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а знаменатель — разностью квадратов.

$\frac{(m + 3)^2}{(3 - m)(3 + m)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m + 3)$:

$\frac{m + 3}{3 - m}$

Ответ: $\frac{m + 3}{3 - m}$.

---

1) Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $3 - x = -(x - 3)$. Приведем вторую дробь к знаменателю $(x - 3)$, изменив знак перед дробью:

$\frac{23}{x - 3} - \frac{x^3 - 4}{3 - x} = \frac{23}{x - 3} - \frac{x^3 - 4}{-(x - 3)} = \frac{23}{x - 3} + \frac{x^3 - 4}{x - 3}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{23 + x^3 - 4}{x - 3} = \frac{x^3 + 19}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x^3 + 19}{x - 3}$.

---

2) Заметим, что знаменатели равны, так как $(5 - x)^2 = (-(x - 5))^2 = (x - 5)^2$. Поэтому можем сразу вычесть числители:

$\frac{25 - 3x}{(x - 5)^2} - \frac{7x - x^2}{(5 - x)^2} = \frac{25 - 3x - (7x - x^2)}{(x - 5)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{25 - 3x - 7x + x^2}{(x - 5)^2} = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x - 5)^2}$

Числитель является полным квадратом $(x - 5)^2$.

$\frac{(x - 5)^2}{(x - 5)^2} = 1$

Ответ: $1$.

---

Сначала упростим данное выражение. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 3)^3$. Для этого учтем, что $(3 - x)^3 = (-(x - 3))^3 = -(x - 3)^3$.

$\frac{5x - 2}{(x - 3)^3} + \frac{x + 4}{(3 - x)^3} - \frac{6}{(x - 3)^3} = \frac{5x - 2}{(x - 3)^3} + \frac{x + 4}{-(x - 3)^3} - \frac{6}{(x - 3)^3} = \frac{5x - 2}{(x - 3)^3} - \frac{x + 4}{(x - 3)^3} - \frac{6}{(x - 3)^3}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим числители:

$\frac{(5x - 2) - (x + 4) - 6}{(x - 3)^3} = \frac{5x - 2 - x - 4 - 6}{(x - 3)^3} = \frac{4x - 12}{(x - 3)^3}$

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(x - 3)}{(x - 3)^3}$

Сократим дробь на $(x - 3)$:

$\frac{4}{(x - 3)^2}$

Теперь докажем, что полученное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной. Допустимыми являются все значения $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 3$.1. Числитель дроби равен 4, что является положительным числом ($4 > 0$).2. Знаменатель дроби $(x - 3)^2$ является квадратом числа. Так как $x \neq 3$, то выражение $(x - 3)$ не равно нулю. Квадрат любого действительного ненулевого числа всегда положителен, следовательно, $(x - 3)^2 > 0$.3. Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, всегда положительна.

Таким образом, выражение $\frac{4}{(x - 3)^2}$ всегда положительно при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано.

---

1) Чтобы значение выражения $\frac{12n + 4}{4n - 3}$ было целым числом, необходимо выделить целую часть дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{12n + 4}{4n - 3} = \frac{3(4n - 3) + 9 + 4}{4n - 3} = \frac{3(4n - 3) + 13}{4n - 3} = \frac{3(4n - 3)}{4n - 3} + \frac{13}{4n - 3} = 3 + \frac{13}{4n - 3}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{13}{4n - 3}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $(4n - 3)$ является делителем числа 13. Делители числа 13: 1, -1, 13, -13.

Рассмотрим все возможные случаи, учитывая, что $n$ — натуральное число (n ≥ 1):

• $4n - 3 = 1 \implies 4n = 4 \implies n = 1$. Это натуральное число.
• $4n - 3 = -1 \implies 4n = 2 \implies n = 0.5$. Не является натуральным числом.
• $4n - 3 = 13 \implies 4n = 16 \implies n = 4$. Это натуральное число.
• $4n - 3 = -13 \implies 4n = -10 \implies n = -2.5$. Не является натуральным числом.

Следовательно, подходят два натуральных значения $n$.

Ответ: $1, 4$.

---

2) Выделим целую часть дроби $\frac{2n^2 - 3n - 12}{n - 3}$ путем деления многочлена на многочлен (например, "уголком"):

$\frac{2n^2 - 3n - 12}{n - 3} = \frac{2n(n-3) + 6n - 3n - 12}{n - 3} = \frac{2n(n-3) + 3n - 12}{n - 3} = \frac{2n(n-3) + 3(n-3) + 9 - 12}{n - 3} = \frac{(2n+3)(n-3) - 3}{n-3} = 2n + 3 - \frac{3}{n - 3}$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $2n + 3$ всегда будет целым. Значит, для того чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n - 3}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $(n - 3)$ является делителем числа 3. Делители числа 3: 1, -1, 3, -3.

Рассмотрим все случаи, учитывая, что $n$ — натуральное число:

• $n - 3 = 1 \implies n = 4$. Это натуральное число.
• $n - 3 = -1 \implies n = 2$. Это натуральное число.
• $n - 3 = 3 \implies n = 6$. Это натуральное число.
• $n - 3 = -3 \implies n = 0$. Не является натуральным числом.

Таким образом, подходят три натуральных значения $n$.

Ответ: $2, 4, 6$.