Номер 41, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 41, страница 24.

Условие.

Самостоятельная работа № 41

Корни многочлена. Теорема Безу.

Целое рациональное уравнение

1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + x^2 - 5x - 4$ на двучлен $x - 3$.

2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x - 3)^{2n} + (x - 2)^n - 1$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - 5x + 6$.

3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 - 3x^2 + ax - 6$ при делении на двучлен $x - 2$ даёт в остатке 4?

4. Решите уравнение $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = 0$.

Решение.

1.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ на двучлен $x - 3$ воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $R = P(a)$.

В нашем случае $a = 3$. Найдем значение многочлена при $x = 3$:

$P(3) = 3^3 + 3^2 - 5 \cdot 3 - 4 = 27 + 9 - 15 - 4 = 36 - 19 = 17$.

Таким образом, остаток от деления равен 17.

Ответ: 17

2.

Обозначим многочлен $P(x) = (x - 3)^{2n} + (x - 2)^n - 1$ и многочлен $Q(x) = x^2 - 5x + 6$.

Чтобы доказать, что $P(x)$ делится нацело на $Q(x)$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также корнями многочлена $P(x)$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, $Q(x) = (x-2)(x-3)$.

Теперь проверим, являются ли числа 2 и 3 корнями многочлена $P(x)$.

Подставим $x = 2$ в выражение для $P(x)$:

$P(2) = (2 - 3)^{2n} + (2 - 2)^n - 1 = (-1)^{2n} + 0^n - 1$.

Так как $n \in \mathbb{N}$, то $2n$ — четное натуральное число, поэтому $(-1)^{2n} = 1$. Также $0^n = 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Получаем: $P(2) = 1 + 0 - 1 = 0$.

Следовательно, $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$.

Подставим $x = 3$ в выражение для $P(x)$:

$P(3) = (3 - 3)^{2n} + (3 - 2)^n - 1 = 0^{2n} + 1^n - 1$.

Так как $n \in \mathbb{N}$, $2n \ge 2$, то $0^{2n} = 0$. Также $1^n = 1$.

Получаем: $P(3) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Следовательно, $x=3$ также является корнем многочлена $P(x)$.

Поскольку оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2 + ax - 6$.

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - 2$ равен значению многочлена в точке $x = 2$, то есть $P(2)$.

По условию задачи, этот остаток равен 4. Значит, $P(2) = 4$.

Найдем значение $P(2)$:

$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + a \cdot 2 - 6 = 8 - 3 \cdot 4 + 2a - 6 = 8 - 12 + 2a - 6 = 2a - 10$.

Приравняем полученное выражение к 4:

$2a - 10 = 4$

$2a = 14$

$a = 7$

Таким образом, при $a = 7$ многочлен $x^3 - 3x^2 + ax - 6$ при делении на двучлен $x - 2$ даёт в остатке 4.

Ответ: $a=7$

4.

Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = 0$.

Это целое рациональное уравнение. Попробуем найти его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (3), а $q$ — делитель старшего коэффициента (2).

Делители $p$: $\pm 1, \pm 3$.

Делители $q$: $\pm 1, \pm 2$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.

Проверим $x = 1$:

$2(1)^4 - 5(1)^3 - 5(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 - 5 - 5 + 5 + 3 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ — корень.

Разделим многочлен $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3$ на $(x - 1)$ столбиком или по схеме Горнера. Получим: $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$.

Теперь решаем кубическое уравнение $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = 0$.

Проверим $x = -1$:

$2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 8(-1) - 3 = -2 - 3 + 8 - 3 = 0$. Значит, $x_2 = -1$ — корень.

Разделим многочлен $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$ на $(x + 1)$. Получим: $2x^2 - 5x - 3$.

Теперь решаем квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$x_{3} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_{4} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $\{-1; -\frac{1}{2}; 1; 3\}$