Номер 41, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 41, страница 24.
№41 (с. 24)
Условие. №41 (с. 24)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 41
Корни многочлена. Теорема Безу.
Целое рациональное уравнение
1. Найдите остаток от деления многочлена $x^3 + x^2 - 5x - 4$ на двучлен $x - 3$.
2. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x - 3)^{2n} + (x - 2)^n - 1$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - 5x + 6$.
3. При каких значениях параметра $a$ многочлен $x^3 - 3x^2 + ax - 6$ при делении на двучлен $x - 2$ даёт в остатке 4?
4. Решите уравнение $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = 0$.
Решение. №41 (с. 24)
1.
Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ на двучлен $x - 3$ воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $R = P(a)$.
В нашем случае $a = 3$. Найдем значение многочлена при $x = 3$:
$P(3) = 3^3 + 3^2 - 5 \cdot 3 - 4 = 27 + 9 - 15 - 4 = 36 - 19 = 17$.
Таким образом, остаток от деления равен 17.
Ответ: 17
2.
Обозначим многочлен $P(x) = (x - 3)^{2n} + (x - 2)^n - 1$ и многочлен $Q(x) = x^2 - 5x + 6$.
Чтобы доказать, что $P(x)$ делится нацело на $Q(x)$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также корнями многочлена $P(x)$.
Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, $Q(x) = (x-2)(x-3)$.
Теперь проверим, являются ли числа 2 и 3 корнями многочлена $P(x)$.
Подставим $x = 2$ в выражение для $P(x)$:
$P(2) = (2 - 3)^{2n} + (2 - 2)^n - 1 = (-1)^{2n} + 0^n - 1$.
Так как $n \in \mathbb{N}$, то $2n$ — четное натуральное число, поэтому $(-1)^{2n} = 1$. Также $0^n = 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.
Получаем: $P(2) = 1 + 0 - 1 = 0$.
Следовательно, $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$.
Подставим $x = 3$ в выражение для $P(x)$:
$P(3) = (3 - 3)^{2n} + (3 - 2)^n - 1 = 0^{2n} + 1^n - 1$.
Так как $n \in \mathbb{N}$, $2n \ge 2$, то $0^{2n} = 0$. Также $1^n = 1$.
Получаем: $P(3) = 0 + 1 - 1 = 0$.
Следовательно, $x=3$ также является корнем многочлена $P(x)$.
Поскольку оба корня многочлена $Q(x)$ являются корнями многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на $Q(x)$ без остатка, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
3.
Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2 + ax - 6$.
Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - 2$ равен значению многочлена в точке $x = 2$, то есть $P(2)$.
По условию задачи, этот остаток равен 4. Значит, $P(2) = 4$.
Найдем значение $P(2)$:
$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + a \cdot 2 - 6 = 8 - 3 \cdot 4 + 2a - 6 = 8 - 12 + 2a - 6 = 2a - 10$.
Приравняем полученное выражение к 4:
$2a - 10 = 4$
$2a = 14$
$a = 7$
Таким образом, при $a = 7$ многочлен $x^3 - 3x^2 + ax - 6$ при делении на двучлен $x - 2$ даёт в остатке 4.
Ответ: $a=7$
4.
Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3 = 0$.
Это целое рациональное уравнение. Попробуем найти его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (3), а $q$ — делитель старшего коэффициента (2).
Делители $p$: $\pm 1, \pm 3$.
Делители $q$: $\pm 1, \pm 2$.
Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.
Проверим $x = 1$:
$2(1)^4 - 5(1)^3 - 5(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 - 5 - 5 + 5 + 3 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ — корень.
Разделим многочлен $2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 5x + 3$ на $(x - 1)$ столбиком или по схеме Горнера. Получим: $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$.
Теперь решаем кубическое уравнение $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = 0$.
Проверим $x = -1$:
$2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 8(-1) - 3 = -2 - 3 + 8 - 3 = 0$. Значит, $x_2 = -1$ — корень.
Разделим многочлен $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$ на $(x + 1)$. Получим: $2x^2 - 5x - 3$.
Теперь решаем квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Найдем корни:
$x_{3} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_{4} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.
Ответ: $\{-1; -\frac{1}{2}; 1; 3\}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 41 расположенного на странице 24 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41 (с. 24), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.