Номер 39, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 39, страница 23.

Условие.

Самостоятельная работа № 39

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

1. Поезд должен был проехать 360 км. Проехав $\frac{7}{12}$ этого расстояния, поезд увеличил свою скорость на 5 км/ч. Найдите скорость поезда на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 5 ч.

2. Двое рабочих, работая вместе, выполнили производственное задание за 12 ч. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если один из них может это сделать на 7 ч быстрее другого?

3. Водный раствор соли содержал 60 г воды. После того как в раствор добавили 20 г воды, концентрация соли уменьшилась на 5 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Решение.

1.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда на втором участке его скорость была $(v+5)$ км/ч.

Найдем длину каждого участка пути.

Первый участок: $S_1 = 360 \cdot \frac{7}{12} = 30 \cdot 7 = 210$ км.

Второй участок: $S_2 = 360 - 210 = 150$ км.

Время, затраченное на первый участок, равно $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{210}{v}$ часов.

Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{S_2}{v+5} = \frac{150}{v+5}$ часов.

По условию, общее время в пути составило 5 часов. Составим и решим уравнение:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{210}{v} + \frac{150}{v+5} = 5$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{42}{v} + \frac{30}{v+5} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v+5)$, при условии что $v > 0$:

$42(v+5) + 30v = v(v+5)$

$42v + 210 + 30v = v^2 + 5v$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 + 5v - 72v - 210 = 0$

$v^2 - 67v - 210 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-67)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 4489 + 840 = 5329$.

Найдем корни уравнения: $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{67 \pm \sqrt{5329}}{2} = \frac{67 \pm 73}{2}$.

$v_1 = \frac{67 + 73}{2} = \frac{140}{2} = 70$.

$v_2 = \frac{67 - 73}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Так как скорость не может быть отрицательной, единственным решением является $v = 70$ км/ч. Это скорость на первом участке.

Скорость на втором участке равна $v + 5 = 70 + 5 = 75$ км/ч.

Ответ: скорость поезда на первом участке была 70 км/ч, а на втором — 75 км/ч.

2.

Пусть первый рабочий может выполнить задание за $x$ часов, а второй — за $y$ часов. По условию, один из них делает это на 7 часов быстрее, так что пусть $x = y - 7$.

Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ часть задания в час, а второго — $\frac{1}{y}$ часть задания в час.

Работая вместе, они выполнили задание за 12 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{12}$ часть задания в час. Составим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Подставим $x = y - 7$ в уравнение:

$\frac{1}{y-7} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y-7)$, при условии что $y > 7$:

$\frac{y + (y-7)}{y(y-7)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2y-7}{y^2-7y} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$12(2y-7) = 1(y^2-7y)$

$24y - 84 = y^2 - 7y$

$y^2 - 31y + 84 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 961 - 336 = 625$.

Найдем корни: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{31 \pm 25}{2}$.

$y_1 = \frac{31 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

$y_2 = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Корень $y_2 = 3$ не удовлетворяет условию $y > 7$, так как время первого рабочего $x = y-7$ было бы отрицательным. Значит, время второго рабочего — 28 часов.

Тогда время первого рабочего: $x = 28 - 7 = 21$ час.

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 21 час, а другой — за 28 часов.

3.

Пусть в растворе содержится $x$ граммов соли.

Изначально масса раствора составляла $(x + 60)$ г (соль + вода). Концентрация соли (массовая доля) была равна $C_1 = \frac{x}{x+60}$.

После добавления 20 г воды, масса воды стала $60 + 20 = 80$ г, а общая масса раствора стала $(x + 80)$ г. Новая концентрация соли стала $C_2 = \frac{x}{x+80}$.

По условию, концентрация уменьшилась на 5%, то есть на 0,05. Составим уравнение:

$C_1 - C_2 = 0,05$

$\frac{x}{x+60} - \frac{x}{x+80} = 0,05$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x(x+80) - x(x+60)}{(x+60)(x+80)} = 0,05$

$\frac{x^2+80x - x^2-60x}{x^2+60x+80x+4800} = 0,05$

$\frac{20x}{x^2+140x+4800} = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$20 \cdot 20x = 1 \cdot (x^2+140x+4800)$

$400x = x^2+140x+4800$

$x^2 - 260x + 4800 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-260)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 67600 - 19200 = 48400$.

Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{260 \pm \sqrt{48400}}{2} = \frac{260 \pm 220}{2}$.

$x_1 = \frac{260 + 220}{2} = \frac{480}{2} = 240$.

$x_2 = \frac{260 - 220}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

Оба корня являются положительными и могут быть решением. Проверим оба:

1. Если масса соли $x=20$ г.
$C_1 = \frac{20}{20+60} = \frac{20}{80} = 0,25$ (25%).
$C_2 = \frac{20}{20+80} = \frac{20}{100} = 0,20$ (20%).
Разница: $25\% - 20\% = 5\%$. Это решение подходит.

2. Если масса соли $x=240$ г.
$C_1 = \frac{240}{240+60} = \frac{240}{300} = 0,80$ (80%).
$C_2 = \frac{240}{240+80} = \frac{240}{320} = 0,75$ (75%).
Разница: $80\% - 75\% = 5\%$. Это решение также подходит.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: раствор содержит 20 г или 240 г соли.