Номер 38, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 38, страница 23.

Условие.

Самостоятельная работа № 38

Решение уравнений методом замены переменной

1. Решите уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$;

2) $(x+5)^4 - 10(x+5)^2 + 9 = 0$.

2. Решите уравнение:

$(x^2 + 4x - 4)^2 - 9x^2 - 36x + 44 = 0$.

3. Решите уравнение:

$\frac{1}{(x+2)(x-5)} + \frac{2}{x(x-3)} = \frac{1}{3}$.

4. Решите уравнение:

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) = 14$.

Решение.

1.

1) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 - 5t - 36 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 - 13}{2} = -4$
$t_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9$
Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.
Для $t_2 = 9$ делаем обратную замену: $x^2 = 9$, откуда $x = \pm 3$.
Ответ: $-3; 3$.

2) $(x + 5)^4 - 10(x + 5)^2 + 9 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $t = (x + 5)^2$. Так как $t$ является квадратом выражения, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 - 10t + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Оба корня неотрицательны.
Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
Случай 1: $t = 1$
$(x + 5)^2 = 1$
$x + 5 = 1 \implies x = -4$
$x + 5 = -1 \implies x = -6$
Случай 2: $t = 9$
$(x + 5)^2 = 9$
$x + 5 = 3 \implies x = -2$
$x + 5 = -3 \implies x = -8$
Ответ: $-8; -6; -4; -2$.

2. $(x^2 + 4x - 4)^2 - 9x^2 - 36x + 44 = 0$
Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель за скобки: $(x^2 + 4x - 4)^2 - 9(x^2 + 4x) + 44 = 0$.
Сделаем замену: пусть $t = x^2 + 4x$.
Уравнение принимает вид: $(t - 4)^2 - 9t + 44 = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $t^2 - 8t + 16 - 9t + 44 = 0 \implies t^2 - 17t + 60 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 5$ и $t_2 = 12$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 5$
$x^2 + 4x = 5 \implies x^2 + 4x - 5 = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1, x_2 = -5$.
Случай 2: $t = 12$
$x^2 + 4x = 12 \implies x^2 + 4x - 12 = 0$. Корни этого уравнения: $x_3 = 2, x_4 = -6$.
Ответ: $-6; -5; 1; 2$.

3. $\frac{1}{(x + 2)(x - 5)} + \frac{2}{x(x - 3)} = \frac{1}{3}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \notin \{-2, 0, 3, 5\}$.
Раскроем скобки в знаменателях: $\frac{1}{x^2 - 3x - 10} + \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{1}{3}$.
Сделаем замену: пусть $t = x^2 - 3x$.
Уравнение принимает вид: $\frac{1}{t - 10} + \frac{2}{t} = \frac{1}{3}$. Исходя из ОДЗ для $x$, имеем $t \ne 0$ и $t \ne 10$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{t + 2(t - 10)}{t(t - 10)} = \frac{1}{3} \implies \frac{3t - 20}{t^2 - 10t} = \frac{1}{3}$.
Используя свойство пропорции, получаем: $3(3t - 20) = t^2 - 10t \implies 9t - 60 = t^2 - 10t \implies t^2 - 19t + 60 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 15$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 4$
$x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни: $x_1 = 4, x_2 = -1$.
Случай 2: $t = 15$
$x^2 - 3x = 15 \implies x^2 - 3x - 15 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 9 + 60 = 69$. Корни: $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{2}$.
Все найденные корни удовлетворяют исходной ОДЗ.
Ответ: $-1; 4; \frac{3 \pm \sqrt{69}}{2}$.

4. $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) = 14$
ОДЗ: $x \ne 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{1}{x}$.
Возведем замену в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$: $t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
Подставим в исходное уравнение: $2(t^2 - 2) - 5t = 14$.
$2t^2 - 4 - 5t - 14 = 0 \implies 2t^2 - 5t - 18 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни для $t$: $t_1 = \frac{5 - 13}{4} = -2$, $t_2 = \frac{5 + 13}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $t = -2$
$x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x_1 = -1$.
Случай 2: $t = \frac{9}{2}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{9}{2} \implies 2x^2 + 2 = 9x \implies 2x^2 - 9x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 81 - 16 = 65$. Корни: $x_{2,3} = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}$.
Ответ: $-1; \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}$.