Номер 37, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 37, страница 22.

Условие.

Самостоятельная работа № 37

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

1. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4} $

2) $ \frac{5x + 3}{x + 5} = \frac{3x + 1}{x + 2} $

3) $ \frac{x + 5}{x - 2} - \frac{5}{x - 5} = \frac{x - 20}{(x - 5)(x - 2)} $

2. Для каждого значения параметра a решите уравнение

$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - a} = 0 $

3. При каких значениях параметра a уравнение

$ \frac{x^2 - (a + 3)x + 2a + 2}{\sqrt{x - 1}} = 0 $ имеет единственное решение?

Решение.

1)

Дано уравнение: $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$(x - 2)(x + 2) \neq 0$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Так как знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители:
$2x^2 - 3x = 2x - 2$
$2x^2 - 3x - 2x + 2 = 0$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: 0.5

2)

Дано уравнение: $\frac{5x + 3}{x + 5} = \frac{3x + 1}{x + 2}$.
ОДЗ: $x + 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -5$ и $x \neq -2$.
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(5x + 3)(x + 2) = (3x + 1)(x + 5)$
$5x^2 + 10x + 3x + 6 = 3x^2 + 15x + x + 5$
$5x^2 + 13x + 6 = 3x^2 + 16x + 5$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$5x^2 - 3x^2 + 13x - 16x + 6 - 5 = 0$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$
Оба корня ($1$ и $0.5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -5$ и $x \neq -2$).
Ответ: 0.5; 1

3)

Дано уравнение: $\frac{x + 5}{x - 2} - \frac{5}{x - 5} = \frac{x - 20}{(x - 5)(x - 2)}$.
ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 5$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 2)(x - 5)$:
$\frac{(x + 5)(x - 5) - 5(x - 2)}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{x - 20}{(x - 5)(x - 2)}$
Умножим обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от него:
$(x + 5)(x - 5) - 5(x - 2) = x - 20$
$x^2 - 25 - 5x + 10 = x - 20$
$x^2 - 5x - 15 = x - 20$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 5$).
Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1

2.

Дано уравнение: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - a} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение из числителя:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $x \neq a$.
Это означает, что найденные корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ будут решениями исходного уравнения, только если они не равны $a$.
Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$:
1. Если $a = 2$, то корень $x = 2$ становится посторонним, так как знаменатель обращается в ноль. Остается только один корень $x = 3$.
2. Если $a = 3$, то корень $x = 3$ становится посторонним. Остается только один корень $x = 2$.
3. Если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то оба корня, $x = 2$ и $x = 3$, являются решениями уравнения, так как знаменатель не обращается в ноль ни для одного из них.
Ответ: если $a=2$, то $x=3$; если $a=3$, то $x=2$; если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то $x_1=2, x_2=3$.

3.

Дано уравнение: $\frac{x^2 - (a + 3)x + 2a + 2}{\sqrt{x - 1}} = 0$.
Уравнение имеет решение, если его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также выражение под корнем должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - (a + 3)x + 2a + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = (-(a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 2) = (a^2 + 6a + 9) - (8a + 8) = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{a + 3 + \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{a + 3 + (a - 1)}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$
$x_2 = \frac{a + 3 - \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{a + 3 - (a - 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Корни числителя: $x_1 = a + 1$ и $x_2 = 2$.
Теперь нужно найти значения $a$, при которых исходное уравнение имеет единственное решение. Это значит, что ровно один из найденных корней должен удовлетворять условию ОДЗ ($x > 1$).
Корень $x_2 = 2$ всегда удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 1$.
Чтобы решение было единственным, нужно рассмотреть корень $x_1 = a + 1$.
Возможны два случая:
1. Корень $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ, то есть $a + 1 \le 1$.
$a \le 0$
В этом случае единственным решением будет $x = 2$.
2. Корни $x_1$ и $x_2$ совпадают.
$a + 1 = 2$
$a = 1$
В этом случае уравнение имеет единственный корень $x = 2$, который удовлетворяет ОДЗ.
Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \le 0$ или $a = 1$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{1\}$.