Номер 30, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 30, страница 19.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $-2,4\sqrt{75}$

2) $-100\sqrt{0,08}$

3) $\frac{2}{3}\sqrt{6\frac{3}{4}}$

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $2\sqrt{5}$

2) $-8\sqrt{2}$

3. Упростите выражение:

$\sqrt{16a} + \sqrt{100a} - \sqrt{81a}$

4. Упростите выражение:

1) $(12 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$

2) $(3\sqrt{a} + 7\sqrt{b})(3\sqrt{a} - 7\sqrt{b})$

3) $(7 - \sqrt{3})^2 + (4 + \sqrt{3})^2$

4) $(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2$

5. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 11}{x + \sqrt{11}}$

2) $\frac{a + 3\sqrt{a}}{a - 9}$

3) $\frac{m - 12\sqrt{m} + 36}{m - 36}$

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{30}{7\sqrt{5}}$

2) $\frac{35}{\sqrt{37} + \sqrt{2}}$

Решение.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $-2,4\sqrt{75}$, представим подкоренное выражение $75$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом: $75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3$.
Тогда $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим это в исходное выражение: $-2,4 \times 5\sqrt{3} = -12\sqrt{3}$.
Ответ: $-12\sqrt{3}$.

2) Для выражения $-100\sqrt{0,08}$, представим $0,08$ как произведение с полным квадратом: $0,08 = 0,04 \times 2 = (0,2)^2 \times 2$.
Тогда $\sqrt{0,08} = \sqrt{0,04 \times 2} = \sqrt{0,04} \times \sqrt{2} = 0,2\sqrt{2}$.
Подставим в исходное выражение: $-100 \times 0,2\sqrt{2} = -20\sqrt{2}$.
Ответ: $-20\sqrt{2}$.

3) Для выражения $\frac{2}{3}\sqrt{6\frac{3}{4}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{3}{4} = \frac{6 \times 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$.
Теперь вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{9 \times 3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{2}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \times 3\sqrt{3}}{3 \times 2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) Чтобы внести множитель $2$ под знак корня в выражении $2\sqrt{5}$, возведем его в квадрат: $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.
Тогда $2\sqrt{5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{20}$.
Ответ: $\sqrt{20}$.

2) В выражении $-8\sqrt{2}$ знак минус остается перед корнем, а под корень вносится положительное число $8$.
$8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$.
Тогда $-8\sqrt{2} = -\sqrt{64} \times \sqrt{2} = -\sqrt{64 \times 2} = -\sqrt{128}$.
Ответ: $-\sqrt{128}$.

3. Упростите выражение

Дано выражение $\sqrt{16a} + \sqrt{100a} - \sqrt{81a}$. Упростим каждый член (при условии $a \ge 0$):
$\sqrt{16a} = \sqrt{16} \times \sqrt{a} = 4\sqrt{a}$.
$\sqrt{100a} = \sqrt{100} \times \sqrt{a} = 10\sqrt{a}$.
$\sqrt{81a} = \sqrt{81} \times \sqrt{a} = 9\sqrt{a}$.
Сложим и вычтем полученные выражения: $4\sqrt{a} + 10\sqrt{a} - 9\sqrt{a} = (4+10-9)\sqrt{a} = 5\sqrt{a}$.
Ответ: $5\sqrt{a}$.

4. Упростите выражение:

1) $(12 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$. Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (FOIL):
$12 \times 3 + 12 \times 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \times 3 - \sqrt{7} \times 2\sqrt{7} = 36 + 24\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2 \times 7$.
$36 + 24\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 14$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(36 - 14) + (24\sqrt{7} - 3\sqrt{7}) = 22 + 21\sqrt{7}$.
Ответ: $22 + 21\sqrt{7}$.

2) $(3\sqrt{a} + 7\sqrt{b})(3\sqrt{a} - 7\sqrt{b})$. Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений, что равно разности их квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
$(3\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = 3^2(\sqrt{a})^2 - 7^2(\sqrt{b})^2 = 9a - 49b$.
Ответ: $9a - 49b$.

3) $(7 - \sqrt{3})^2 + (4 + \sqrt{3})^2$. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.
$(7 - \sqrt{3})^2 = 7^2 - 2 \times 7 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 49 - 14\sqrt{3} + 3 = 52 - 14\sqrt{3}$.
$(4 + \sqrt{3})^2 = 4^2 + 2 \times 4 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 3 = 19 + 8\sqrt{3}$.
Сложим результаты: $(52 - 14\sqrt{3}) + (19 + 8\sqrt{3}) = (52+19) + (-14\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) = 71 - 6\sqrt{3}$.
Ответ: $71 - 6\sqrt{3}$.

4) $(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, $y = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
$x^2 = (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$.
$y^2 = (\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$.
$2xy = 2\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \times \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$.
Под корнем находится разность квадратов: $2\sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{49 - 16 \times 3} = 2\sqrt{49 - 48} = 2\sqrt{1} = 2$.
Сложим все части: $x^2 + y^2 + 2xy = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) + 2 = 7 + 7 + 2 = 16$.
Ответ: $16$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 11}{x + \sqrt{11}}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 11 = x^2 - (\sqrt{11})^2 = (x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})$.
Дробь примет вид: $\frac{(x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})}{x + \sqrt{11}}$.
Сокращаем на общий множитель $(x + \sqrt{11})$, получаем $x - \sqrt{11}$.
Ответ: $x - \sqrt{11}$.

2) $\frac{a + 3\sqrt{a}}{a - 9}$. Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{a}$: $\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)$.
Знаменатель разложим как разность квадратов: $a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Дробь примет вид: $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}$.
Сокращаем на $(\sqrt{a} + 3)$, получаем $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3}$.

3) $\frac{m - 12\sqrt{m} + 36}{m - 36}$. Числитель является полным квадратом разности: $(\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{m} - 6)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $(\sqrt{m})^2 - 6^2 = (\sqrt{m} - 6)(\sqrt{m} + 6)$.
Дробь примет вид: $\frac{(\sqrt{m} - 6)^2}{(\sqrt{m} - 6)(\sqrt{m} + 6)}$.
Сокращаем на $(\sqrt{m} - 6)$, получаем $\frac{\sqrt{m} - 6}{\sqrt{m} + 6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{m} - 6}{\sqrt{m} + 6}$.

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{30}{7\sqrt{5}}$. Чтобы избавиться от $\sqrt{5}$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\frac{30 \times \sqrt{5}}{7\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{30\sqrt{5}}{7 \times 5} = \frac{30\sqrt{5}}{35}$.
Сократим дробь на 5: $\frac{6\sqrt{5}}{7}$.
Ответ: $\frac{6\sqrt{5}}{7}$.

2) $\frac{35}{\sqrt{37} + \sqrt{2}}$. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е. на $\sqrt{37} - \sqrt{2}$:
$\frac{35(\sqrt{37} - \sqrt{2})}{(\sqrt{37} + \sqrt{2})(\sqrt{37} - \sqrt{2})}$.
В знаменателе получаем разность квадратов: $(\sqrt{37})^2 - (\sqrt{2})^2 = 37 - 2 = 35$.
Дробь становится равной $\frac{35(\sqrt{37} - \sqrt{2})}{35}$.
Сокращаем на 35, получаем $\sqrt{37} - \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{37} - \sqrt{2}$.