Номер 23, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 23, страница 15.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Неравенства с одной переменной.

Числовые промежутки

1. Решите неравенство:

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x;$

2) $\frac{x+14}{6} - \frac{x-12}{8} \le 3;$

3) $6x + (x - 2)(x + 2) > (x + 3)^2.$

2. Равносильны ли неравенства:

1) $(x - 5)(x^2 + 4) < 0$ и $x - 5 < 0;$

2) $|x + 4| > 0$ и $(x + 4)^2 > 0;$

3) $(x - 3)x \le x$ и $x + 3 \le 1?$

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+1}{x+1} > \frac{1}{2};$

2) $\frac{1}{|x-1|} > -3;$

3) $|x^2 - 9| \le 0.$

4. При каких значениях параметра а неравенство $3x + a > 6$ является следствием неравенства $2a - x < 1?$

5. Для каждого значения параметра а решите неравенство:

1) $(a - 3)^2 x \ge 0;$

2) $(a + 1)x > a^2 - 1.$

Решение.

1. Решите неравенство:

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x$

Раскроем скобки в левой части неравенства: $5 - 2x + 2 > 4 - x$.

Приведем подобные слагаемые: $7 - 2x > 4 - x$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую: $7 - 4 > 2x - x$.

Упростим обе части: $3 > x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2) $\frac{x + 14}{6} - \frac{x - 12}{8} \le 3$

Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 8. НОК(6, 8) = 24.

Умножим обе части неравенства на 24, чтобы избавиться от дробей: $24 \cdot \frac{x + 14}{6} - 24 \cdot \frac{x - 12}{8} \le 24 \cdot 3$.

Выполним умножение: $4(x + 14) - 3(x - 12) \le 72$.

Раскроем скобки: $4x + 56 - 3x + 36 \le 72$.

Приведем подобные слагаемые: $x + 92 \le 72$.

Вычтем 92 из обеих частей: $x \le 72 - 92$.

Получим: $x \le -20$.

Ответ: $x \in (-\infty; -20]$.

3) $6x + (x - 2)(x + 2) > (x + 3)^2$

Применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем скобки: $6x + x^2 - 4 > x^2 + 6x + 9$.

Перенесем все слагаемые в левую часть: $6x + x^2 - 4 - x^2 - 6x - 9 > 0$.

Приведем подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (-4 - 9) > 0$.

Получим неверное числовое неравенство: $-13 > 0$.

Так как это неравенство ложно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

2. Равносильны ли неравенства:

1) $(x - 5)(x^2 + 4) < 0$ и $x - 5 < 0$

Рассмотрим первое неравенство. Выражение $x^2 + 4$ всегда положительно при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку $x^2 + 4 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства $(x - 5)(x^2 + 4) < 0$ на $x^2 + 4$, не меняя знака неравенства. Получим $x - 5 < 0$.

Второе неравенство — это $x - 5 < 0$.

Так как оба неравенства приводятся к одному и тому же виду $x - 5 < 0$ (и, следовательно, имеют одно и то же множество решений $x < 5$), они равносильны.

Ответ: Да, равносильны.

2) $|x + 4| > 0$ и $(x + 4)^2 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $|x + 4| > 0$. Модуль любого числа неотрицателен, т.е. $|x + 4| \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x + 4 = 0$, то есть $x = -4$. Таким образом, неравенство $|x + 4| > 0$ верно для всех $x$, кроме $x = -4$. Множество решений: $(-\infty; -4) \cup (-4; \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $(x + 4)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $(x + 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x + 4 = 0$, то есть $x = -4$. Таким образом, неравенство $(x + 4)^2 > 0$ верно для всех $x$, кроме $x = -4$. Множество решений: $(-\infty; -4) \cup (-4; \infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.

Ответ: Да, равносильны.

3) $(x - 3)x \le x$ и $x + 3 \le 1$

Решим первое неравенство: $(x - 3)x \le x$.

Перенесем все в левую часть: $x(x - 3) - x \le 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3 - 1) \le 0$, что дает $x(x - 4) \le 0$.

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $x=0$ и $x=4$, включая концы. Множество решений: $[0; 4]$.

Решим второе неравенство: $x + 3 \le 1$.

Вычтем 3 из обеих частей: $x \le 1 - 3$, что дает $x \le -2$.

Множество решений: $(-\infty; -2]$.

Множества решений $[0; 4]$ и $(-\infty; -2]$ не совпадают, следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет, не равносильны.

3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x + 1}{x + 1} > \frac{1}{2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

На ОДЗ выражение $\frac{x + 1}{x + 1}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 > \frac{1}{2}$.

Это неравенство является верным числовым неравенством. Следовательно, решением исходного неравенства являются все значения $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2) $\frac{1}{|x - 1|} > -3$

ОДЗ: $|x - 1| \ne 0$, что означает $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

На ОДЗ выражение $|x - 1|$ всегда положительно. Следовательно, дробь $\frac{1}{|x - 1|}$ также всегда положительна.

Любое положительное число больше, чем -3. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

3) $|x^2 - 9| \le 0$

Модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то есть $|x^2 - 9| \ge 0$.

Следовательно, неравенство $|x^2 - 9| \le 0$ может выполняться только в том случае, когда $|x^2 - 9| = 0$.

Это равносильно уравнению $x^2 - 9 = 0$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) = 0$.

Корни уравнения: $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: $x \in \{-3; 3\}$.

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $3x + a > 6$ является следствием неравенства $2a - x < 1$?

Неравенство A является следствием неравенства B, если множество решений B является подмножеством множества решений A.

Найдем множество решений неравенства B: $2a - x < 1$.

$-x < 1 - 2a$.

Умножим на -1 и сменим знак: $x > 2a - 1$. Множество решений $S_B = (2a - 1; \infty)$.

Найдем множество решений неравенства A: $3x + a > 6$.

$3x > 6 - a$.

$x > \frac{6 - a}{3}$. Множество решений $S_A = (\frac{6 - a}{3}; \infty)$.

Для того чтобы $S_B \subseteq S_A$, необходимо, чтобы начальная точка интервала $S_B$ была не меньше начальной точки интервала $S_A$.

То есть, должно выполняться условие: $2a - 1 \ge \frac{6 - a}{3}$.

Умножим обе части на 3: $3(2a - 1) \ge 6 - a$.

$6a - 3 \ge 6 - a$.

$7a \ge 9$.

$a \ge \frac{9}{7}$.

Ответ: при $a \ge \frac{9}{7}$.

5. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $(a - 3)^2 x \ge 0$

Рассмотрим коэффициент при $x$, который равен $(a - 3)^2$.

Случай 1: Коэффициент равен нулю.

$(a - 3)^2 = 0$, что выполняется при $a = 3$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется для любого действительного значения $x$.

Случай 2: Коэффициент больше нуля.

$(a - 3)^2 > 0$. Так как квадрат числа всегда неотрицателен, это условие выполняется при всех $a$, кроме $a=3$, то есть при $a \ne 3$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(a - 3)^2$, знак неравенства не изменится: $x \ge \frac{0}{(a-3)^2}$, то есть $x \ge 0$.

Ответ: если $a = 3$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \ne 3$, то $x \ge 0$ ($x \in [0; \infty)$).

2) $(a + 1)x > a^2 - 1$

Это линейное неравенство относительно $x$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от $(a + 1)$.

Случай 1: Коэффициент $(a + 1) > 0$, то есть $a > -1$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(a + 1)$, знак неравенства сохранится: $x > \frac{a^2 - 1}{a + 1}$.

Упростим правую часть: $x > \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$, что дает $x > a - 1$.

Случай 2: Коэффициент $(a + 1) < 0$, то есть $a < -1$.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $(a + 1)$, знак неравенства изменится на противоположный: $x < \frac{a^2 - 1}{a + 1}$.

Упростим правую часть: $x < \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$, что дает $x < a - 1$.

Случай 3: Коэффициент $(a + 1) = 0$, то есть $a = -1$.

Подставим $a = -1$ в исходное неравенство: $0 \cdot x > (-1)^2 - 1$, что дает $0 > 0$.

Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a = -1$ решений нет.

Ответ: если $a > -1$, то $x > a - 1$; если $a < -1$, то $x < a - 1$; если $a = -1$, то решений нет.