Номер 19, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 19, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Признаки делимости

1. Делится ли нацело число 97 548 на число: 1) 4; 2) 9; 3) 11?

2. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число *83* делилось нацело на 88.

3. Может ли натуральное число, запись которого состоит из цифр 1, 2, 4, 5 (каждая из цифр используется один раз), быть квадратом натурального числа?

4. Решите уравнение $n = S(n) + 128$.

Решение.

1. Для проверки делимости числа 97 548 используем соответствующие признаки делимости.

1) Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.
Последние две цифры числа 97 548 — это 48.
Проверяем: $48 \div 4 = 12$. Так как 48 делится на 4, то и число 97 548 делится на 4.
Ответ: да, делится.

2) Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Находим сумму цифр числа 97 548: $9 + 7 + 5 + 4 + 8 = 33$.
Проверяем: 33 не делится нацело на 9 ($33 = 3 \times 9 + 6$). Следовательно, число 97 548 не делится на 9.
Ответ: нет, не делится.

3) Признак делимости на 11: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.
Цифры на нечётных местах (первая, третья, пятая): 9, 5, 8. Их сумма: $9 + 5 + 8 = 22$.
Цифры на чётных местах (вторая, четвёртая): 7, 4. Их сумма: $7 + 4 = 11$.
Находим разность: $22 - 11 = 11$.
Проверяем: 11 делится на 11. Следовательно, число 97 548 делится на 11.
Ответ: да, делится.

2. Обозначим искомое число как $*83*$. Чтобы оно делилось на 88, оно должно одновременно делиться на 8 и на 11, так как $88 = 8 \times 11$ и числа 8 и 11 взаимно простые.

1. Признак делимости на 8: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
Пусть последняя цифра будет $x$. Тогда число $83x$ должно делиться на 8. Проверим возможные значения $x$ от 0 до 9:
$830 \div 8 = 103$ (остаток 6)
$831 \div 8 = 103$ (остаток 7)
$832 \div 8 = 104$. Подходит. Значит, последняя цифра равна 2.
Число имеет вид $*832$.

2. Признак делимости на 11: разность сумм цифр на нечётных и чётных местах должна делиться на 11.
Пусть первая цифра будет $y$. Число имеет вид $y832$.
Сумма цифр на нечётных местах: $y + 3$.
Сумма цифр на чётных местах: $8 + 2 = 10$.
Разность: $(y + 3) - 10 = y - 7$.
Это выражение должно делиться на 11. Так как $y$ — это цифра от 1 до 9 (число не может начинаться с нуля), единственная возможность — это когда $y - 7 = 0$.
$y - 7 = 0 \Rightarrow y = 7$.
Таким образом, искомое число — 7832.
Ответ: 7832.

3. Для того чтобы определить, может ли число, составленное из цифр 1, 2, 4, 5, быть квадратом натурального числа, воспользуемся признаками делимости.
Найдем сумму данных цифр: $1 + 2 + 4 + 5 = 12$.
Любое число, составленное из этих цифр, будет иметь сумму цифр, равную 12.
Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Так как 12 делится на 3, любое число, составленное из цифр 1, 2, 4, 5, будет делиться на 3.
Теперь рассмотрим свойство квадратов натуральных чисел. Если натуральное число делится на 3, то его квадрат должен делиться на $3^2=9$.
Проверим, делится ли наше гипотетическое число на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр равна 12, а 12 не делится на 9.
Таким образом, мы имеем число, которое делится на 3, но не делится на 9. Такое число не может быть квадратом натурального числа.
Ответ: нет, не может.

4. Дано уравнение $n = S(n) + 128$, где $n$ — натуральное число, а $S(n)$ — сумма его цифр.
Перепишем уравнение в виде $n - S(n) = 128$.
Существует свойство, связывающее число и сумму его цифр: разность между любым натуральным числом и суммой его цифр всегда делится нацело на 9.
Докажем это. Пусть $n$ — k-значное число, которое можно представить в виде $n = d_{k-1}10^{k-1} + \dots + d_110^1 + d_0$.
Сумма его цифр $S(n) = d_{k-1} + \dots + d_1 + d_0$.
Тогда разность $n - S(n) = d_{k-1}(10^{k-1}-1) + \dots + d_1(10-1) + d_0(1-1)$.
Каждый член вида $10^m - 1$ представляет собой число, состоящее из $m$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$), и, следовательно, делится на 9. Значит, вся сумма $n - S(n)$ делится на 9.
Из нашего уравнения следует, что $n - S(n) = 128$. Значит, число 128 должно делиться на 9.
Проверим делимость 128 на 9 по признаку делимости: сумма цифр числа 128 равна $1 + 2 + 8 = 11$.
Так как 11 не делится на 9, то и 128 не делится на 9.
Полученное противоречие означает, что не существует такого натурального числа $n$, которое удовлетворяло бы данному уравнению.
Ответ: уравнение не имеет решений в натуральных числах.