Номер 17, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 17, страница 12.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Деление с остатком. Сравнения по модулю

и их свойства

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$:

1) $m = 4, n = 23$; 2) $m = -61, n = 32$.

2. Число $x$ при делении на 3 даёт в остатке 1, а при делении на 4 даёт в остатке 3. Найдите остаток при делении числа $x$ на 12.

3. Известно, что $m \equiv -3 \pmod{6}$, $n \equiv -4 \pmod{6}$. Найдите остаток при делении на 6 числа: 1) $3m - 4n$; 2) $mn$; 3) $m^2$.

4. Решите в целых числах уравнение $x^2 - 15y = 2$.

5. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1}$ кратно 7.

6. Найдите остаток при делении числа $4^{67}$ на число 7.

Решение.

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n:

1) m = 4, n = 23

Деление с остатком определяется формулой $m = q \cdot n + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем должно выполняться условие $0 \le r < n$.
В данном случае $m=4$ и $n=23$. Так как делимое меньше делителя, неполное частное равно 0, а остаток равен самому делимому.
$4 = 0 \cdot 23 + 4$.
Неполное частное $q = 0$.
Остаток $r = 4$.
Условие $0 \le 4 < 23$ выполняется.

Ответ: неполное частное 0, остаток 4.

2) m = -61, n = 32

Мы ищем целые числа $q$ и $r$ такие, что $-61 = q \cdot 32 + r$ и $0 \le r < 32$.
Разделим -61 на 32: $-61 / 32 \approx -1.906$. Неполное частное $q$ должно быть целым числом, меньшим или равным этому значению, то есть $q = -2$.
Теперь найдем остаток $r$:
$r = m - q \cdot n = -61 - (-2) \cdot 32 = -61 - (-64) = -61 + 64 = 3$.
Таким образом, $-61 = (-2) \cdot 32 + 3$.
Условие $0 \le 3 < 32$ выполняется.
Неполное частное $q = -2$.
Остаток $r = 3$.

Ответ: неполное частное -2, остаток 3.

2. Число x при делении на 3 даёт в остатке 1, а при делении на 4 даёт в остатке 3. Найдите остаток при делении числа x на 12.

Условия задачи можно записать в виде системы сравнений:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 3 \pmod{4}$
Из первого сравнения следует, что число $x$ можно представить в виде $x = 3k + 1$ для некоторого целого числа $k$.
Подставим это выражение во второе сравнение:
$3k + 1 \equiv 3 \pmod{4}$
$3k \equiv 3 - 1 \pmod{4}$
$3k \equiv 2 \pmod{4}$
Чтобы решить это сравнение, можно заметить, что $3 \equiv -1 \pmod{4}$. Тогда:
$-k \equiv 2 \pmod{4}$
Умножим обе части на -1:
$k \equiv -2 \pmod{4}$, что равносильно $k \equiv 2 \pmod{4}$.
Это означает, что $k$ можно представить в виде $k = 4j + 2$ для некоторого целого числа $j$.
Теперь подставим это выражение для $k$ обратно в формулу для $x$:
$x = 3k + 1 = 3(4j + 2) + 1 = 12j + 6 + 1 = 12j + 7$.
Из этого выражения видно, что при делении числа $x$ на 12 остаток равен 7.
То есть, $x \equiv 7 \pmod{12}$.

Ответ: 7.

3. Известно, что m ≡ -3 (mod 6), n ≡ -4 (mod 6). Найдите остаток при делении на 6 числа:

Сначала приведем сравнения к виду с наименьшими неотрицательными вычетами:
$m \equiv -3 \pmod{6} \implies m \equiv -3 + 6 \pmod{6} \implies m \equiv 3 \pmod{6}$.
$n \equiv -4 \pmod{6} \implies n \equiv -4 + 6 \pmod{6} \implies n \equiv 2 \pmod{6}$.
Теперь, используя свойства сравнений, найдем остатки для данных выражений.

1) 3m - 4n

$3m - 4n \equiv 3 \cdot 3 - 4 \cdot 2 \pmod{6}$
$3m - 4n \equiv 9 - 8 \pmod{6}$
$3m - 4n \equiv 1 \pmod{6}$.
Остаток при делении на 6 равен 1.

Ответ: 1.

2) mn

$mn \equiv 3 \cdot 2 \pmod{6}$
$mn \equiv 6 \pmod{6}$
$mn \equiv 0 \pmod{6}$.
Остаток при делении на 6 равен 0.

Ответ: 0.

3) m²

$m^2 \equiv 3^2 \pmod{6}$
$m^2 \equiv 9 \pmod{6}$
$m^2 \equiv 3 \pmod{6}$.
Остаток при делении на 6 равен 3.

Ответ: 3.

4. Решите в целых числах уравнение x² - 15y = 2.

Перепишем уравнение в виде $x^2 = 15y + 2$.
Это означает, что $x^2$ при делении на 15 даёт в остатке 2. Запишем это в виде сравнения:
$x^2 \equiv 2 \pmod{15}$.
Если это сравнение имеет решение, то должны иметь решения и сравнения по модулям, являющимся делителями числа 15, например, по модулю 3.
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$.
Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3:
Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.
Так как сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений, то и исходное уравнение $x^2 - 15y = 2$ не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

5. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 16ⁿ + 5 · 9ⁿ - 3 · 2ⁿ⁺¹ кратно 7.

Чтобы доказать, что выражение кратно 7, нужно показать, что оно сравнимо с 0 по модулю 7.
$16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{7}$.
Рассмотрим каждый член выражения по модулю 7:
$16 \equiv 2 \pmod{7}$, следовательно, $16^n \equiv 2^n \pmod{7}$.
$9 \equiv 2 \pmod{7}$, следовательно, $9^n \equiv 2^n \pmod{7}$.
$2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.
Подставим эти сравнения в исходное выражение:
$16^n + 5 \cdot 9^n - 3 \cdot 2^{n+1} \equiv 2^n + 5 \cdot 2^n - 3 \cdot (2 \cdot 2^n) \pmod{7}$.
Вынесем $2^n$ за скобки:
$\equiv 2^n (1 + 5 - 3 \cdot 2) \pmod{7}$
$\equiv 2^n (1 + 5 - 6) \pmod{7}$
$\equiv 2^n \cdot 0 \pmod{7}$
$\equiv 0 \pmod{7}$.
Так как выражение сравнимо с 0 по модулю 7, оно делится на 7 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6. Найдите остаток при делении числа 4⁶⁷ на число 7.

Нам нужно найти значение $4^{67} \pmod{7}$.
Воспользуемся малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
В нашем случае $p=7$ (простое число) и $a=4$ (не делится на 7).
Следовательно, $4^{7-1} \equiv 4^6 \equiv 1 \pmod{7}$.
Теперь упростим показатель степени 67, разделив его на 6:
$67 = 6 \cdot 11 + 1$.
Тогда $4^{67} = 4^{6 \cdot 11 + 1} = (4^6)^{11} \cdot 4^1$.
Теперь вычислим значение по модулю 7:
$4^{67} \equiv (4^6)^{11} \cdot 4^1 \pmod{7}$.
Так как $4^6 \equiv 1 \pmod{7}$, получаем:
$4^{67} \equiv 1^{11} \cdot 4 \pmod{7}$
$4^{67} \equiv 1 \cdot 4 \pmod{7}$
$4^{67} \equiv 4 \pmod{7}$.
Остаток при делении $4^{67}$ на 7 равен 4.

Ответ: 4.