Номер 21, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 21, страница 14.
№21 (с. 14)
Условие. №21 (с. 14)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 21
Числовые неравенства и их свойства
1. Сравните числа $a$ и $b$, если:
1) $a = 0,6 + b$
2) $b = a - 8$
2. Известно, что $a > b$. Сравните:
1) $b - 10$ и $a - 10$
2) $-100b$ и $-100a$
3) $\frac{a}{13}$ и $\frac{b}{13}$
3. Известно, что $a < b$. Сравните:
1) $a - 3$ и $b$
3) $-a + 1$ и $-b + 1$
2) $a$ и $b + 4$
4) $a + 5$ и $b - 1$
4. Сравните числа $a$ и $0$, если:
1) $6a > 5a$
3) $-7a > -9a$
2) $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$
4) $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$
5. Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравните:
1) $a - b$ и $0$
3) $4a - 5b$ и $b$
2) $b - a$ и $a$
4) $\frac{1}{3b - 2a}$ и $a$
6. Известно, что $3 < a < 5$. Докажите, что:
1) $-2 < 8 - 2a < 2$
2) $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$
Решение. №21 (с. 14)
1) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, найдем их разность. Из условия $a = 0,6 + b$ следует, что $a - b = 0,6$. Так как разность $a - b$ положительна ($0,6 > 0$), то $a > b$.
Ответ: $a > b$.
2) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, найдем их разность. Из условия $b = a - 8$ следует, что $a - b = 8$. Так как разность $a - b$ положительна ($8 > 0$), то $a > b$.
Ответ: $a > b$.
1) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем 10 из обеих частей: $a - 10 > b - 10$.
Ответ: $b - 10 < a - 10$.
2) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Умножим обе части на -100: $-100a < -100b$.
Ответ: $-100b > -100a$.
3) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части на 13: $\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.
Ответ: $\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.
1) Дано, что $a < b$. По определению, для любого числа $a$ верно, что $a - 3 < a$. Используя свойство транзитивности для неравенств ($x < y$ и $y < z$ влечет $x < z$), из $a - 3 < a$ и $a < b$ следует, что $a - 3 < b$.
Ответ: $a - 3 < b$.
2) Дано, что $a < b$. По определению, для любого числа $b$ верно, что $b < b + 4$. Используя свойство транзитивности, из $a < b$ и $b < b + 4$ следует, что $a < b + 4$.
Ответ: $a < b + 4$.
3) Дано, что $a < b$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-a > -b$. Теперь прибавим к обеим частям 1, знак неравенства не изменится: $-a + 1 > -b + 1$.
Ответ: $-a + 1 > -b + 1$.
4) Для сравнения выражений $a + 5$ и $b - 1$ рассмотрим их разность: $(a + 5) - (b - 1) = a + 5 - b + 1 = (a - b) + 6$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна. Однако знак выражения $(a - b) + 6$ не определен и зависит от величины разности $a-b$. Например, если $a=1, b=10$, то $a-b+6 = -9+6 = -3 < 0$, и $a+5 < b-1$. Если же $a=1, b=3$, то $a-b+6 = -2+6 = 4 > 0$, и $a+5 > b-1$. Таким образом, однозначное сравнение невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.
1) В неравенстве $6a > 5a$ перенесем $5a$ в левую часть: $6a - 5a > 0$, что упрощается до $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.
2) В неравенстве $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$ перенесем все в левую часть: $\frac{a}{8} - \frac{a}{9} < 0$. Приведем к общему знаменателю 72: $\frac{9a - 8a}{72} < 0$, что дает $\frac{a}{72} < 0$. Умножив обе части на 72, получим $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.
3) В неравенстве $-7a > -9a$ перенесем $-9a$ в левую часть: $-7a + 9a > 0$, что упрощается до $2a > 0$. Разделив на 2, получим $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.
4) В неравенстве $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$ перенесем $-\frac{a}{10}$ в левую часть: $\frac{a}{10} - \frac{a}{100} > 0$. Приведем к общему знаменателю 100: $\frac{10a - a}{100} > 0$, что дает $\frac{9a}{100} > 0$. Умножив на $\frac{100}{9}$, получим $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.
1) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Если $b < 0$, то $-b > 0$. Выражение $a - b$ является суммой двух положительных чисел $a$ и $(-b)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна, следовательно, $a - b > 0$.
Ответ: $a - b > 0$.
2) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $b - a$ и $a$. Рассмотрим их разность: $(b - a) - a = b - 2a$. Так как $b < 0$ и $a > 0$, то $-2a < 0$. Сумма двух отрицательных чисел $b$ и $(-2a)$ всегда отрицательна, то есть $b - 2a < 0$. Следовательно, $b - a < a$.
Ответ: $b - a < a$.
3) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $4a - 5b$ и $b$. Рассмотрим их разность: $(4a - 5b) - b = 4a - 6b$. Так как $a > 0$, то $4a > 0$. Так как $b < 0$, то $-6b > 0$. Сумма двух положительных чисел $4a$ и $(-6b)$ всегда положительна, то есть $4a - 6b > 0$. Следовательно, $4a - 5b > b$.
Ответ: $4a - 5b > b$.
4) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $\frac{1}{3b - 2a}$ и $a$. Оценим знак знаменателя $3b - 2a$. Так как $b < 0$, то $3b < 0$. Так как $a > 0$, то $-2a < 0$. Знаменатель является суммой двух отрицательных чисел, значит, $3b - 2a < 0$. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{3b - 2a}$ отрицательна. Так как $a$ — положительное число, а любое отрицательное число меньше любого положительного, то $\frac{1}{3b - 2a} < a$.
Ответ: $\frac{1}{3b - 2a} < a$.
1) Требуется доказать, что $-2 < 8 - 2a < 2$, если $3 < a < 5$.
Начнем с исходного неравенства: $3 < a < 5$.
Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $3 \cdot (-2) > a \cdot (-2) > 5 \cdot (-2)$, что равносильно $-6 > -2a > -10$.
Запишем это неравенство в порядке возрастания: $-10 < -2a < -6$.
Прибавим 8 ко всем частям неравенства: $-10 + 8 < 8 - 2a < -6 + 8$.
В результате получаем: $-2 < 8 - 2a < 2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
2) Требуется доказать, что $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$, если $3 < a < 5$.
Начнем с исходного неравенства: $3 < a < 5$.
Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot 3 < 3a < 3 \cdot 5$, то есть $9 < 3a < 15$.
Вычтем 7 из всех частей неравенства: $9 - 7 < 3a - 7 < 15 - 7$, то есть $2 < 3a - 7 < 8$.
Все части полученного двойного неравенства ($2$, $3a-7$ и $8$) положительны. Если взять обратные величины ко всем частям, знаки неравенства изменятся на противоположные: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3a - 7} > \frac{1}{8}$.
Запишем это неравенство в порядке возрастания: $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 21 расположенного на странице 14 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21 (с. 14), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.