Номер 21, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 21, страница 14.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Числовые неравенства и их свойства

1. Сравните числа $a$ и $b$, если:

1) $a = 0,6 + b$

2) $b = a - 8$

2. Известно, что $a > b$. Сравните:

1) $b - 10$ и $a - 10$

2) $-100b$ и $-100a$

3) $\frac{a}{13}$ и $\frac{b}{13}$

3. Известно, что $a < b$. Сравните:

1) $a - 3$ и $b$

3) $-a + 1$ и $-b + 1$

2) $a$ и $b + 4$

4) $a + 5$ и $b - 1$

4. Сравните числа $a$ и $0$, если:

1) $6a > 5a$

3) $-7a > -9a$

2) $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$

4) $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$

5. Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравните:

1) $a - b$ и $0$

3) $4a - 5b$ и $b$

2) $b - a$ и $a$

4) $\frac{1}{3b - 2a}$ и $a$

6. Известно, что $3 < a < 5$. Докажите, что:

1) $-2 < 8 - 2a < 2$

2) $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$

Решение.

1) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, найдем их разность. Из условия $a = 0,6 + b$ следует, что $a - b = 0,6$. Так как разность $a - b$ положительна ($0,6 > 0$), то $a > b$.

Ответ: $a > b$.

2) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, найдем их разность. Из условия $b = a - 8$ следует, что $a - b = 8$. Так как разность $a - b$ положительна ($8 > 0$), то $a > b$.

Ответ: $a > b$.

1) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем 10 из обеих частей: $a - 10 > b - 10$.

Ответ: $b - 10 < a - 10$.

2) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Умножим обе части на -100: $-100a < -100b$.

Ответ: $-100b > -100a$.

3) Дано неравенство $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части на 13: $\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.

Ответ: $\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.

1) Дано, что $a < b$. По определению, для любого числа $a$ верно, что $a - 3 < a$. Используя свойство транзитивности для неравенств ($x < y$ и $y < z$ влечет $x < z$), из $a - 3 < a$ и $a < b$ следует, что $a - 3 < b$.

Ответ: $a - 3 < b$.

2) Дано, что $a < b$. По определению, для любого числа $b$ верно, что $b < b + 4$. Используя свойство транзитивности, из $a < b$ и $b < b + 4$ следует, что $a < b + 4$.

Ответ: $a < b + 4$.

3) Дано, что $a < b$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-a > -b$. Теперь прибавим к обеим частям 1, знак неравенства не изменится: $-a + 1 > -b + 1$.

Ответ: $-a + 1 > -b + 1$.

4) Для сравнения выражений $a + 5$ и $b - 1$ рассмотрим их разность: $(a + 5) - (b - 1) = a + 5 - b + 1 = (a - b) + 6$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна. Однако знак выражения $(a - b) + 6$ не определен и зависит от величины разности $a-b$. Например, если $a=1, b=10$, то $a-b+6 = -9+6 = -3 < 0$, и $a+5 < b-1$. Если же $a=1, b=3$, то $a-b+6 = -2+6 = 4 > 0$, и $a+5 > b-1$. Таким образом, однозначное сравнение невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

1) В неравенстве $6a > 5a$ перенесем $5a$ в левую часть: $6a - 5a > 0$, что упрощается до $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

2) В неравенстве $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$ перенесем все в левую часть: $\frac{a}{8} - \frac{a}{9} < 0$. Приведем к общему знаменателю 72: $\frac{9a - 8a}{72} < 0$, что дает $\frac{a}{72} < 0$. Умножив обе части на 72, получим $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

3) В неравенстве $-7a > -9a$ перенесем $-9a$ в левую часть: $-7a + 9a > 0$, что упрощается до $2a > 0$. Разделив на 2, получим $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

4) В неравенстве $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$ перенесем $-\frac{a}{10}$ в левую часть: $\frac{a}{10} - \frac{a}{100} > 0$. Приведем к общему знаменателю 100: $\frac{10a - a}{100} > 0$, что дает $\frac{9a}{100} > 0$. Умножив на $\frac{100}{9}$, получим $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

1) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Если $b < 0$, то $-b > 0$. Выражение $a - b$ является суммой двух положительных чисел $a$ и $(-b)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна, следовательно, $a - b > 0$.

Ответ: $a - b > 0$.

2) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $b - a$ и $a$. Рассмотрим их разность: $(b - a) - a = b - 2a$. Так как $b < 0$ и $a > 0$, то $-2a < 0$. Сумма двух отрицательных чисел $b$ и $(-2a)$ всегда отрицательна, то есть $b - 2a < 0$. Следовательно, $b - a < a$.

Ответ: $b - a < a$.

3) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $4a - 5b$ и $b$. Рассмотрим их разность: $(4a - 5b) - b = 4a - 6b$. Так как $a > 0$, то $4a > 0$. Так как $b < 0$, то $-6b > 0$. Сумма двух положительных чисел $4a$ и $(-6b)$ всегда положительна, то есть $4a - 6b > 0$. Следовательно, $4a - 5b > b$.

Ответ: $4a - 5b > b$.

4) Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравним $\frac{1}{3b - 2a}$ и $a$. Оценим знак знаменателя $3b - 2a$. Так как $b < 0$, то $3b < 0$. Так как $a > 0$, то $-2a < 0$. Знаменатель является суммой двух отрицательных чисел, значит, $3b - 2a < 0$. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{3b - 2a}$ отрицательна. Так как $a$ — положительное число, а любое отрицательное число меньше любого положительного, то $\frac{1}{3b - 2a} < a$.

Ответ: $\frac{1}{3b - 2a} < a$.

1) Требуется доказать, что $-2 < 8 - 2a < 2$, если $3 < a < 5$.

Начнем с исходного неравенства: $3 < a < 5$.

Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $3 \cdot (-2) > a \cdot (-2) > 5 \cdot (-2)$, что равносильно $-6 > -2a > -10$.

Запишем это неравенство в порядке возрастания: $-10 < -2a < -6$.

Прибавим 8 ко всем частям неравенства: $-10 + 8 < 8 - 2a < -6 + 8$.

В результате получаем: $-2 < 8 - 2a < 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Требуется доказать, что $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$, если $3 < a < 5$.

Начнем с исходного неравенства: $3 < a < 5$.

Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot 3 < 3a < 3 \cdot 5$, то есть $9 < 3a < 15$.

Вычтем 7 из всех частей неравенства: $9 - 7 < 3a - 7 < 15 - 7$, то есть $2 < 3a - 7 < 8$.

Все части полученного двойного неравенства ($2$, $3a-7$ и $8$) положительны. Если взять обратные величины ко всем частям, знаки неравенства изменятся на противоположные: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3a - 7} > \frac{1}{8}$.

Запишем это неравенство в порядке возрастания: $\frac{1}{8} < \frac{1}{3a - 7} < \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.